Cointegración: Engle-Granger, Johansen y vida media de la reversión.

Correlación no es cointegración

Un borracho que sale del bar camina sin rumbo: cada paso es independiente del anterior y, con el tiempo, puede acabar en cualquier parte. Si lleva un perro suelto, el perro también vaga. Pero si el perro va atado con una correa larga, los dos vagan sin rumbo y, aun así, nunca se separan más que la correa. Murray (1994) usó esta imagen para explicar la cointegración: dos series que por separado son paseos aleatorios pero cuya distancia es estacionaria.

En trading, los dos caminantes son dos precios. La pregunta que importa para un par (lección 2.3.3) no es si suben y bajan a la vez, sino si la distancia entre ellos vuelve a un nivel. Son preguntas distintas:

• La correlación de rendimientos mide si los dos precios se mueven en la misma dirección el mismo día. Es una propiedad del corto plazo. Dos paseos aleatorios con un factor común tienen una correlación alta y pueden separarse sin límite.
• La cointegración dice que existe un $\beta$ tal que el spread $\ln y_t - \beta \ln x_t$ es estacionario: vuelve a su media con una velocidad finita. Es una propiedad del largo plazo, y no exige que los rendimientos diarios estén muy correlados.

Formalmente: dos series integradas de orden 1 (sus diferencias son estacionarias, lección 2.1.2) están cointegradas cuando existe un vector $(1, -\beta)$ cuya combinación es estacionaria. Con precios se suele trabajar con sus logaritmos, porque lo que vuelve es un cociente y el spread queda en porcentaje:

flowchart TB
  P["Precios I(1)"] --> R{Correlados}
  P --> S{"Spread I(0)"}
  R -- sí --> C1[Cubrir a corto]
  R -- no --> N1[Poca relación]
  S -- sí --> C2[Par que revierte]
  S -- no --> N2[Se separan]

Las dos ramas son independientes: un par puede estar en cualquiera de las cuatro combinaciones. La figura de la cabecera muestra la diferencia con datos: arriba, el spread del par B (cointegrado) cruza el cero sin parar; abajo, el residuo del control E (más correlado que B, no cointegrado) pasa años enteros a un lado del cero.

Los ocho pares del curso

Los datos de esta lección son ocho pares sintéticos (pares2.parquet), sesiones de la NYSE de 2014 a 2025, con la respuesta conocida en pares2_verdad.csv. Todas las relaciones se plantaron entre logaritmos. Tres pares están cointegrados con vidas medias distintas (A, B y C); D tiene un β que cambia con el tiempo (lección 2.1.6); E, F y G son controles: sus rendimientos están muy correlados, pero la relación entre sus logaritmos lleva un paseo aleatorio, así que no están cointegrados; H está cointegrado hasta el 15 de junio de 2021 y desde ese día deja de estarlo. Son datos inventados con el efecto plantado: sirven para comprobar si un método recupera lo que se sabe que hay, no como evidencia de que un par real funcione.

import numpy as np
import pandas as pd

pares = pd.read_parquet("pares2.parquet")
verdad = pd.read_csv("pares2_verdad.csv", index_col="par")
precios = pares.pivot(index="fecha", columns="activo",
                      values="precio")
lp = np.log(precios)      # las relaciones son entre logaritmos
print(precios.shape, precios.index[0].date(),
      precios.index[-1].date())
verdad[["tipo", "formulacion", "beta", "vida_media_sesiones",
        "sigma_spread"]]

(3018, 16) 2014-01-02 2025-12-31
                         tipo formulacion  beta  vida_media_sesiones  sigma_spread
par
A                 cointegrado         log   1.5                  5.0         0.020
B                 cointegrado         log   0.8                 15.0         0.030
C                 cointegrado         log   1.1                 40.0         0.045
D               beta_variable         log   NaN                 10.0         0.025
E    correlado_no_cointegrado         log   1.0                  NaN           NaN
F    correlado_no_cointegrado         log   0.9                  NaN           NaN
G    correlado_no_cointegrado         log   1.2                  NaN           NaN
H                     ruptura         log   0.9                 10.0         0.025

Cada par tiene un activo x y un activo y (PZAX y PZAY para A). La columna formulacion dice que la relación es entre logaritmos (log), y sigma_spread es la desviación típica del spread en logaritmos: 0,02 es un 2 % de distancia típica entre los dos precios. Lo primero es medir lo que suele medir un analista con prisa, la correlación, junto al contraste de Engle-Granger que se explica en la sección siguiente:

from statsmodels.tsa.stattools import coint

filas = []
for par, v in verdad.iterrows():
    y, x = lp[v.activo_y], lp[v.activo_x]
    t, p, _ = coint(y, x)
    filas.append({"par": par, "tipo": v.tipo,
                  "corr_rend": y.diff().corr(x.diff()),
                  "corr_logprecios": y.corr(x),
                  "t_eg": t, "p_eg": p})
tabla = pd.DataFrame(filas).set_index("par")
tabla.round(3)

                         tipo  corr_rend  corr_logprecios    t_eg   p_eg
par
A                 cointegrado      0.912            1.000 -14.971  0.000
B                 cointegrado      0.792            0.990  -8.979  0.000
C                 cointegrado      0.875            0.992  -5.586  0.000
D               beta_variable      0.871            0.994  -3.472  0.035
E    correlado_no_cointegrado      0.859            0.978  -2.599  0.237
F    correlado_no_cointegrado      0.856            0.976  -2.036  0.510
G    correlado_no_cointegrado      0.856            0.931  -2.371  0.339
H                     ruptura      0.635            0.941  -2.647  0.219

Los tres controles tienen una correlación de rendimientos de 0,86, más que el par B (0,79), y la correlación de sus logaritmos pasa de 0,93. Si el criterio fuera la correlación, E sería mejor candidato que B. El contraste dice lo contrario: B rechaza la hipótesis de «no cointegración» con holgura (t = −8,98, muy por debajo del valor crítico de −3,34 al 5 %) y E, F y G no la rechazan (p entre 0,24 y 0,51). La correlación de los precios es todavía peor guía: dos series con tendencia tienen correlaciones de niveles cercanas a 1 aunque no tengan nada que ver (regresión espuria).

D y H son los casos con trampa. H no rechaza en la muestra completa (p = 0,22): la relación existió y se rompió, y el salto de la ruptura hunde incluso su correlación de rendimientos (0,64). D sí rechaza (p = 0,035), y es un aprobado engañoso: su β verdadero se mueve y la regresión de toda la muestra estima uno medio; el residuo de ese β fijo revierte, pero mucho más despacio que el spread de verdad (se ve con la vida media, más abajo). Los dos se tratan en esta lección y en la 2.1.6.

Engle-Granger en dos pasos

El contraste de Engle y Granger (1987) es la forma más directa de comprobar la definición:

1. Estimar por mínimos cuadrados $\ln y_t = \alpha + \beta \ln x_t + u_t$.
2. Contrastar si el residuo $\hat u_t$ tiene raíz unitaria con una regresión de Dickey-Fuller aumentada, $\Delta \hat u_t = \gamma \hat u_{t-1} + \sum_{i=1}^{k} c_i \Delta \hat u_{t-i} + e_t$. La hipótesis nula es $\gamma = 0$: el residuo es un paseo aleatorio y no hay cointegración.

flowchart TB
  A["ln y, ln x"] --> B[MCO: y sobre x]
  B --> C[Residuo u]
  C --> D[ADF de u]
  D --> E{t bajo el crítico}
  E -- sí --> F[Cointegrados]
  E -- no --> G[Sin evidencia]

El detalle que se olvida es el valor crítico. En el primer paso, MCO elige el β que hace mínima la varianza del residuo, es decir, el que más estacionario lo hace parecer. Por eso el ADF del residuo no puede compararse con las tablas del ADF de una serie observada: hacen falta valores críticos más negativos, los de MacKinnon para residuos de cointegración, que son los que usa coint. El paso a mano lo enseña:

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

def dos_pasos(y, x):
    mco = sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit()
    adf = adfuller(mco.resid, result_object=True)
    eg = coint(y, x)
    return {"alfa": mco.params.iloc[0], "beta": mco.params.iloc[1],
            "t": adf.statistic, "p_adf": adf.pvalue,
            "crit5_adf": adf.critical_values["5%"],
            "p_coint": eg[1], "crit5_coint": eg[2][1]}

pd.DataFrame({par: dos_pasos(lp[f"PZ{par}Y"], lp[f"PZ{par}X"])
              for par in ["B", "E"]}).round(3)

                 B      E
alfa         0.683  0.913
beta         0.805  0.821
t           -8.978 -2.598
p_adf        0.000  0.093
crit5_adf   -2.862 -2.862
p_coint      0.000  0.237
crit5_coint -3.338 -3.338

En B, MCO recupera la relación plantada ($\alpha$ = 0,7 y $\beta$ = 0,8; salen 0,68 y 0,805) y el residuo es claramente estacionario con cualquier tabla. En E el estadístico es el mismo en las dos columnas (−2,60), pero el ADF directo da p = 0,09, un rechazo al 10 %, y coint, p = 0,24: el valor crítico al 5 % pasa de −2,86 a −3,34. Con una criba de muchos pares, usar la tabla equivocada multiplica los falsos positivos.

Engle-Granger tiene dos debilidades conocidas. La primera, que no es simétrico: regresar y sobre x o x sobre y da estadísticos y p-valores distintos, y en un caso dudoso cada dirección puede llevar a una conclusión diferente. La segunda, que con más de dos series solo encuentra una relación, aunque haya varias. Johansen resuelve las dos.

Johansen: cuántas relaciones hay entre varias series

Johansen (1991) parte de un modelo vectorial de corrección del error (VECM) para un vector $Y_t$ de $n$ series, aquí los logaritmos de los precios:

Si las series no están cointegradas, $\Pi = 0$ y el modelo es un VAR en diferencias. Si hay $r$ relaciones de cointegración, $\Pi = \alpha \beta'$ tiene rango $r$: las $r$ columnas de $\beta$ son las combinaciones estacionarias y $\alpha$ dice con qué fuerza vuelve cada serie al equilibrio. El contraste de la traza pregunta en secuencia «¿rango ≤ 0?», «¿rango ≤ 1?»… y el rango estimado es el primero que no se rechaza.

Con las cuatro series de A y B, la respuesta conocida es $r = 2$:

import warnings
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen

# Con numpy 2.5, los autovectores salen como complejos de parte
# imaginaria nula y statsmodels avisa (ComplexWarning) al pasarlos
# a reales: el aviso no cambia ningún número
warnings.filterwarnings("ignore",
                        category=np.exceptions.ComplexWarning)

def johansen(datos, k_ar_diff=1):
    j = coint_johansen(datos, det_order=0, k_ar_diff=k_ar_diff)
    n = datos.shape[1]
    tabla = pd.DataFrame(
        {"traza": j.lr1, "crit95_traza": j.cvt[:, 1],
         "max_autov": j.lr2, "crit95_max": j.cvm[:, 1]},
        index=[f"rango <= {r}" for r in range(n)])
    rango = int((j.lr1 > j.cvt[:, 1]).cumprod().sum())
    return tabla, rango, np.real(j.evec)

cuatro = lp[["PZAY", "PZAX", "PZBY", "PZBX"]]
tabla_j, rango, vectores = johansen(cuatro)
print("Rango estimado:", rango)
tabla_j.round(1)

Rango estimado: 2
            traza  crit95_traza  max_autov  crit95_max
rango <= 0  296.2          47.9      209.6        27.6
rango <= 1   86.6          29.8       80.0        21.1
rango <= 2    6.6          15.5        5.6        14.3
rango <= 3    0.9           3.8        0.9         3.8

La traza rechaza «rango ≤ 0» (296,2 frente a 47,9) y «rango ≤ 1» (86,6 frente a 29,8), y no rechaza «rango ≤ 2» (6,6 frente a 15,5): dos relaciones, las plantadas. Los vectores de cointegración no son únicos (cualquier combinación de dos vectores estacionarios también lo es), pero normalizados se reconocen:

v1 = vectores[:, 0] / vectores[0, 0]   # normalizado por PZAY
v2 = vectores[:, 1] / vectores[2, 1]   # normalizado por PZBY
pd.DataFrame({"vector_1": v1, "vector_2": v2},
             index=cuatro.columns).round(3)

        vector_1  vector_2
activo
PZAY       1.000    -0.040
PZAX      -1.501     0.065
PZBY       0.070     1.000
PZBX      -0.059    -0.812

El primer vector es casi exactamente la relación de A, $\ln y - 1{,}5 \ln x$ (−1,501), con pesos pequeños en B; el segundo, casi la de B, $\ln y - 0{,}8 \ln x$ (−0,812), con pesos pequeños en A. Aquí salen limpios porque las dos relaciones tienen fuerzas de reversión muy distintas, pero no está garantizado: cualquier combinación de dos vectores estacionarios también lo es, y lo que Johansen identifica de forma única es el número de relaciones y el espacio que generan, no una base concreta.

Si se añade a un par cointegrado una serie que no tiene nada que ver con él, Johansen debería encontrar una sola relación y dar peso nulo a la serie ajena. Y con series que no están cointegradas entre sí debería dar rango 0, salvo por azar (al 5 %, en uno de cada veinte casos). Esta última comprobación depende de la formulación:

from itertools import combinations

tabla_3, rango_3, vec_3 = johansen(lp[["PZAY", "PZAX", "PZEX"]])
print("A + PZEX: rango", rango_3, "vector",
      (vec_3[:, 0] / vec_3[0, 0]).round(3))

controles = ["PZEY", "PZEX", "PZFY", "PZFX", "PZGY", "PZGX"]
trios = list(combinations(controles, 3))
falsos = {"niveles": 0, "logaritmos": 0}
for trio in trios:
    datos = precios[list(trio)]
    falsos["niveles"] += johansen(datos)[1] > 0
    falsos["logaritmos"] += johansen(lp[list(trio)])[1] > 0
print(len(trios), "tríos de controles; con rango > 0:", falsos)
crec = precios[controles].iloc[-1] / precios[controles].iloc[0]
print("Precio final / inicial:", crec.round(1).to_dict())

A + PZEX: rango 1 vector [ 1.    -1.51   0.008]
20 tríos de controles; con rango > 0: {'niveles': 4, 'logaritmos': 0}
Precio final / inicial: {'PZEY': 2.4, 'PZEX': 3.1, 'PZFY': 3.3, 'PZFX': 3.4, 'PZGY': 5.1, 'PZGX': 3.2}

Con la serie ajena, rango 1 y peso casi nulo (0,008) para PZEX: correcto. Con los controles, en logaritmos ningún trío de los 20 da rango mayor que cero, lo esperable (el azar daría uno); en niveles, 4. La razón está en la última línea: los controles se multiplican por entre 2,4 y 5,1 en doce años. El contraste supone errores de varianza constante, y en niveles la variación diaria de un precio es proporcional a su nivel: un precio que se ha multiplicado por 5 tiene variaciones cinco veces mayores al final que al principio, y la distribución de la traza deja de ser la de las tablas. En logaritmos la variación diaria es un porcentaje y su tamaño no depende del nivel.

Vida media: el spread como proceso de Ornstein-Uhlenbeck

Saber que un spread revierte no basta para operarlo: hay que saber a qué velocidad. El modelo estándar es el proceso de Ornstein-Uhlenbeck, un paseo aleatorio con una fuerza que tira hacia la media:

$\theta$ es la velocidad de reversión: la distancia esperada a la media cae como $e^{-\theta t}$. Muestreado una vez por sesión, es un AR(1), $S_t = c + \varphi S_{t-1} + \varepsilon_t$ con $\varphi = e^{-\theta}$, y la vida media (el tiempo en que la distancia esperada a la media se reduce a la mitad) es

Se estima con la regresión de la variación del spread sobre su nivel anterior, $\Delta S_t = c + b\, S_{t-1} + e_t$, con $\varphi = 1 + b$. En los pares cointegrados se aplica al residuo de Engle-Granger:

def vida_media(spread):
    """Vida media en sesiones del AR(1) dS_t = c + b * S_(t-1)."""
    s = pd.Series(spread).dropna()
    X = sm.add_constant(s.shift(1).iloc[1:])
    b = sm.OLS(s.diff().iloc[1:], X).fit().params.iloc[1]
    return -np.log(2) / np.log(1 + b)

def residuo_eg(par):
    y, x = lp[f"PZ{par}Y"], lp[f"PZ{par}X"]
    return sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit().resid

vidas = pd.DataFrame({
    "estimada": {p: vida_media(residuo_eg(p)) for p in "ABCDEFG"},
    "verdadera": verdad["vida_media_sesiones"]}).dropna(
        subset=["estimada"])
vidas.round(1)

   estimada  verdadera
A       4.7        5.0
B      13.0       15.0
C      35.4       40.0
D      38.4       10.0
E     162.1        NaN
F     259.4        NaN
G     270.0        NaN

En A, B y C la estimación queda cerca de la verdad pero siempre por debajo: 4,7 frente a 5, 13,0 frente a 15 y 35,4 frente a 40. En E, F y G la función devuelve vidas medias de 162 a 270 sesiones, aunque no hay ninguna: un AR(1) siempre da un $\varphi$ menor que 1 en una muestra finita, así que la vida media de un paseo aleatorio sale finita. Una vida media solo tiene sentido después de un contraste de cointegración que la respalde. Y D enseña lo contrario: el contraste aprobó, pero el residuo de su β fijo tiene una vida media de 38,4 sesiones cuando la del spread verdadero es 10. Lo que revierte en D es otra cosa que lo que se estimó: con un β que se mueve, el residuo de un β medio mezcla el spread con la deriva lenta del β (lección 2.1.6).

¿Es mala suerte o sesgo? Se puede responder simulando: generar muchos procesos de Ornstein-Uhlenbeck con la vida media verdadera y la longitud de estos datos, y estimar cada uno igual.

from scipy.signal import lfilter

rng = np.random.default_rng(2028)
n, caminos = len(lp), 400
filas = {}
for h in [5, 15, 40]:
    phi = 0.5 ** (1 / h)
    e = rng.standard_normal((caminos, n)) * np.sqrt(1 - phi**2)
    s = lfilter([1.0], [1.0, -phi], e, axis=1)
    ds, s0 = np.diff(s, axis=1), s[:, :-1]
    s0c = s0 - s0.mean(axis=1, keepdims=True)
    b = (ds * s0c).sum(axis=1) / (s0c**2).sum(axis=1)
    est = -np.log(2) / np.log(1 + b)
    filas[h] = np.percentile(est, [5, 50, 95])
pd.DataFrame(filas, index=["p5", "mediana", "p95"]).T.round(1)

      p5  mediana   p95
5    4.4      4.9   5.6
15  11.8     14.7  17.8
40  27.3     37.2  51.2

La mediana de las simulaciones queda por debajo de la verdad, y más cuanto más lenta es la reversión: es el sesgo del coeficiente autorregresivo en muestras finitas, que empuja $\hat\varphi$ hacia abajo. Las tres estimaciones de los datos caen dentro de la banda del 90 %, así que son lo esperable. La banda es lo que más importa: con doce años de datos, la vida media de 40 sesiones podría haberse estimado en 27 o en 51. Un par con vida media de 40 sesiones tiene apenas 75 vidas medias en la muestra, pocas observaciones independientes de la reversión.

La vida media sirve después para dos decisiones del sistema de la lección 2.3.3: cuánto tiempo mantener una posición antes de darla por fallida y qué ventana usar para estimar media y desviación del spread. Una vida media mal estimada estropea las dos.

Cuando la cointegración se rompe: el par H

El par H está cointegrado (vida media 10, spread de desviación 0,025 en logaritmos) hasta el 15 de junio de 2021. Ese día el spread salta cinco desviaciones típicas y desde entonces es un paseo aleatorio. Es la situación real más peligrosa: una relación que funcionó durante años, que cualquier contraste confirma con los datos del pasado, y que deja de existir.

y, x = lp["PZHY"], lp["PZHX"]
antes = lp.index < "2021-06-15"
for nombre, m in [("muestra completa", slice(None)),
                  ("antes de la ruptura", antes),
                  ("después de la ruptura", ~antes)]:
    t, p, _ = coint(y[m], x[m])
    print(f"{nombre:22} sesiones {len(y[m]):5}  t {t:6.2f}  "
          f"p {p:.4f}")

muestra completa       sesiones  3018  t  -2.65  p 0.2191
antes de la ruptura    sesiones  1875  t  -5.91  p 0.0000
después de la ruptura  sesiones  1143  t  -3.66  p 0.0205

Antes de la ruptura la cointegración es inequívoca (t = −5,91; p < 0,0001). La muestra completa ya no la detecta (p = 0,22). Y el tramo posterior, que por construcción es un paseo aleatorio, da t = −3,66 y p = 0,021: un falso positivo. Un analista que mirase solo los cuatro últimos años concluiría que la relación sigue viva. Un contraste al 5 % rechaza una de cada veinte veces cuando no hay nada; si se mira un solo tramo, el azar puede tocar.

Una forma de ver el problema completo es contrastar en ventanas móviles de un año, como haría un sistema que reestima la relación cada mes:

def ventanas(y, x, n=252, paso=21):
    return np.array([coint(y.iloc[i:i + n], x.iloc[i:i + n],
                           maxlag=10)[1]
                     for i in range(0, len(y) - n + 1, paso)])

casos = {"A (vida media 5)": "A", "C (vida media 40)": "C",
         "E (control)": "E", "F (control)": "F",
         "G (control)": "G"}
filas = {}
for nombre, par in casos.items():
    p = ventanas(lp[f"PZ{par}Y"], lp[f"PZ{par}X"])
    filas[nombre] = (len(p), (p < 0.05).mean())
p = ventanas(y[~antes], x[~antes])
filas["H tras la ruptura"] = (len(p), (p < 0.05).mean())
pd.DataFrame(filas, index=["ventanas", "rechazo_5pct"]).T.round(3)

                   ventanas  rechazo_5pct
A (vida media 5)      132.0         0.977
C (vida media 40)     132.0         0.091
E (control)           132.0         0.038
F (control)           132.0         0.098
G (control)           132.0         0.061
H tras la ruptura      43.0         0.070

Tres lecturas. En A, con una vida media de 5 sesiones, un año de datos basta y el contraste rechaza en el 98 % de las ventanas. En C, cointegrado de verdad pero con vida media de 40, un año contiene apenas seis vidas medias y el contraste rechaza en el 9 %, casi como si no hubiera nada: es un problema de potencia, no de ausencia de relación. En los controles la tasa de rechazo va del 3,8 % al 9,8 %, alrededor del 5 % que se espera del azar (las ventanas se solapan, así que esas tasas tienen mucho ruido), y en H tras la ruptura es del 7 % (3 de 43 ventanas). La ventana corta no distingue bien un par lento de uno inexistente; la larga mezcla tramos con y sin relación. No hay una ventana correcta: hay que saber qué se pierde con cada una. La detección de la ruptura en sí es materia de la lección 2.1.7.

Cribar pares: el sesgo de selección

En la práctica nadie contrasta un par: se criban cientos y se quedan los que pasan. Con los dieciséis activos de los datos hay 120 parejas posibles, y solo las de A, B y C (y H en parte de la muestra) tienen relación. Las 112 parejas de activos de pares distintos no están cointegradas por construcción:

filas = []
for a, b in combinations(precios.columns, 2):
    filas.append({
        "mismo_par": a[:3] == b[:3],
        "p_logs": coint(lp[a], lp[b], maxlag=10)[1],
        "p_niveles": coint(precios[a], precios[b], maxlag=10)[1]})
criba = pd.DataFrame(filas)
ajenas = criba[~criba["mismo_par"]]
print("Parejas de pares distintos:", len(ajenas))
(ajenas[["p_logs", "p_niveles"]] < 0.05).sum()

Parejas de pares distintos: 112
p_logs       4
p_niveles    2
dtype: int64

En logaritmos, 4 de las 112 parejas sin relación pasan el contraste al 5 %, y en niveles, 2: los dos números están cerca de los 5,6 que daría el azar, y entre ellos no hay ninguna lección sobre la formulación (las parejas comparten un factor de mercado y no son contrastes independientes, así que el número de rechazos varía mucho de una muestra a otra). Lo que importa es que existen: cualquiera de esas cuatro parejas, presentada sola, parecería un hallazgo. El problema de elegir lo mejor de muchas pruebas tiene nombre y correcciones (lección 2.1.8); la defensa más sencilla es exigir una razón económica antes de mirar el p-valor y validar fuera de la muestra en la que se eligió el par (lección 2.5.2).

Errores típicos con la cointegración

• Estimar β con toda la muestra y operar en ella. El β y la media del spread de un backtest tienen que estimarse con datos anteriores a cada operación; con toda la muestra, el spread revierte «por construcción» (lección 2.5.1).
• Cribar sin corregir. De 112 parejas sin relación, 4 pasan en logaritmos. Con cientos de candidatos, los «pares» que pasan son en buena parte azar.
• Confundir correlación y cointegración. Los controles E, F y G tienen más correlación que B y no revierten.
• Fiarse de un aprobado con β fijo. D pasa Engle-Granger con un β medio, pero el residuo que revierte tiene una vida media cuatro veces mayor que el spread real.
• Elegir mal la formulación. En niveles, Johansen da falsos positivos y Engle-Granger pierde el par A.
• Ignorar la potencia. Un par lento parece no cointegrado en ventanas cortas; un par rápido parece cointegrado en casi cualquier ventana.
• Suponer que dura. La relación de H funcionó siete años y se rompió en un día. El seguimiento del spread y de la estabilidad del β (lecciones 2.1.6 y 2.1.7) es parte del sistema, no un extra.
• Precios sin ajustar. Un split o un dividendo sin ajustar mete un salto en uno de los dos precios y rompe una cointegración que existe (lección 1.4.3).

Ejercicios

1. Repite el contraste de Engle-Granger de los pares A, B, C y de los controles E, F y G con los precios en niveles, en lugar de en logaritmos. ¿Cambia alguna conclusión?

for par in "ABCEFG":
    t, p, _ = coint(precios[f"PZ{par}Y"], precios[f"PZ{par}X"])
    print(par, f"t {t:6.2f}  p {p:.3f}")

A t  -3.30  p 0.055
B t  -8.56  p 0.000
C t  -5.44  p 0.000
E t  -2.32  p 0.366
F t  -1.85  p 0.607
G t  -2.04  p 0.508

2. Estima la vida media del par B con los tres primeros años (2014-2016) y con los tres últimos (2023-2025), usando en cada tramo su propio β. ¿Cuánto varía? ¿Cae dentro de la banda simulada para una vida media de 15?

yb, xb = lp["PZBY"], lp["PZBX"]
for desde, hasta in [("2014", "2016"), ("2023", "2025")]:
    ys, xs = yb.loc[desde:hasta], xb.loc[desde:hasta]
    u = sm.OLS(ys, sm.add_constant(xs)).fit().resid
    print(desde, hasta, f"sesiones {len(u)}",
          f"vida media {vida_media(u):.1f}")

2014 2016 sesiones 756 vida media 9.7
2023 2025 sesiones 752 vida media 13.5

3. Un compañero criba 300 parejas de acciones del mismo sector en niveles, encuentra 24 con p < 0,05 en Engle-Granger y propone operarlas todas. Con lo visto en esta lección, ¿qué le dirías?