Rentabilidades, volatilidad, correlaciones móviles y drawdown.

Dos índices, siete años

En el nivel 0 calculaste rentabilidades, la volatilidad de una ventana de 21 sesiones y el drawdown de un ETF ficticio (lecciones 0.5.3 y 0.7.1). Esta lección parte de ahí y va a lo que importa para operar: cómo cambia la volatilidad, con qué retraso la detecta cada estimador, cuánto se puede fiar uno de una correlación móvil y cómo es un drawdown por dentro.

Los datos son dos índices ficticios del nivel 1, con las sesiones reales de la NYSE de 2019 a 2025: ISX, un índice de rentabilidad total (etf_indice_diario.csv), y FIX, un índice de precios con futuros (fix_indice_diario.csv). Los dos tienen episodios de volatilidad alta en 2020, 2022 y la primavera de 2025.

import numpy as np
import pandas as pd

isx = pd.read_csv("etf_indice_diario.csv", parse_dates=["fecha"],
                  index_col="fecha")["indice"]
fix = pd.read_csv("fix_indice_diario.csv", parse_dates=["fecha"],
                  index_col="fecha")["indice"]
px = pd.DataFrame({"ISX": isx, "FIX": fix})
r = np.log(px).diff().dropna()   # rentabilidades logarítmicas
print(px.index[0].date(), "a", px.index[-1].date(), len(px), "sesiones")
anual = pd.DataFrame({
    "media_%": 100 * 252 * r.mean(),
    "vol_%": 100 * np.sqrt(252) * r.std(),
    "peor_dia_%": 100 * r.min(),
    "mejor_dia_%": 100 * r.max()})
anual.round(2)

2019-01-02 a 2025-12-31 1760 sesiones
     media_%  vol_%  peor_dia_%  mejor_dia_%
ISX    12.83  20.87       -7.95         7.84
FIX    14.55  20.07       -8.98         8.15

Los dos tienen una volatilidad anual en torno al 20 %, peores días de −8 % y −9 %, mejores de +8 % y rentabilidades medias del 12,8 y el 14,6 % (en log, anualizadas por 252). Una volatilidad de toda la muestra dice poco: es la media de años muy tranquilos y meses muy agitados. Lo útil es la serie.

Volatilidad de ventana fija

La volatilidad histórica de n sesiones es la desviación típica de las n últimas rentabilidades, anualizada por √252. El tamaño de la ventana es un compromiso: corta, ruidosa y rápida; larga, estable y lenta.

x = r["ISX"]
vol = pd.DataFrame({
    f"v{n}": x.rolling(n).std() * np.sqrt(252)
    for n in (21, 63, 252)})
(100 * vol.loc["2020-02-14":"2020-05-29"].iloc[::10]).round(1)

             v21   v63  v252
fecha
2020-02-14  10.6  12.1  11.4
2020-03-02  17.5  13.2  11.7
2020-03-16  22.7  17.9  13.1
2020-03-30  27.7  23.4  15.1
2020-04-14  34.3  26.1  16.7
2020-04-28  38.2  29.8  18.4
2020-05-12  45.5  36.7  20.9
2020-05-27  37.2  38.6  21.7

A mediados de febrero de 2020 las tres ventanas ven un mercado tranquilo, en torno al 11-12 %. La de 21 sesiones llega al 34,3 % a mediados de abril y al 45,5 % en mayo; la de 63, al 26,1 % y al 36,7 %; la de 252, que lleva un año de días tranquilos dentro, no pasa del 21,7 % en todo el periodo. Una ventana rectangular pondera igual todos sus días: hasta que los días tranquilos salen de ella, infravalora el régimen nuevo.

EWMA: el peso decrece con la antigüedad

La media móvil exponencial (EWMA) de los cuadrados de las rentabilidades da a cada día un peso que decrece de forma geométrica. Es la de RiskMetrics, la metodología de riesgo de J.P. Morgan de los noventa, que fijó λ = 0,94 para los datos diarios y λ = 0,97 para los mensuales11Nota 1 · J.P. Morgan/Reuters, RiskMetrics — Technical Document, 4.ª edición, 1996: correlaciones y volatilidades con medias exponenciales y factores de decaimiento de 0,94 (datos diarios, «74 day cutoff 1%») y 0,97 (mensuales).:

La rentabilidad de ayer pesa 1 − λ = 6 %; la de anteayer, 6 % × 0,94; la de hace k días, 0,06 × 0,94^(k−1). RiskMetrics supone media cero, razonable con datos diarios, y por eso usa r² en lugar de (r − media)².

lam = 0.94
k = np.arange(1, 253)
w = (1 - lam) * lam ** (k - 1)
print(f"Vida media: {np.log(0.5) / np.log(lam):.1f} sesiones")
for n in (10, 21, 63, 74):
    print(f"Peso de las {n} últimas: {w[:n].sum():.1%}")

Vida media: 11.2 sesiones
Peso de las 10 últimas: 46.1%
Peso de las 21 últimas: 72.7%
Peso de las 63 últimas: 98.0%
Peso de las 74 últimas: 99.0%

La mitad del peso está en las once últimas sesiones y el 99 % en las 74 últimas (la cifra de corte que da el propio documento de RiskMetrics para λ = 0,94). Una ventana de 63 sesiones da 1/63 = 1,6 % a cada día y 0 al 64.º: el día que sale de la ventana provoca un salto en la estimación aunque no pase nada hoy.

La recursión se escribe en un bucle o con ewm. Con adjust=False, pandas aplica exactamente la recursión; con alpha = 1 − λ:

def ewma_var(x, lam=0.94, var0=None):
    """Varianza EWMA de cada día con datos hasta el día anterior."""
    v = np.empty(len(x))
    v[0] = np.var(x[:21]) if var0 is None else var0
    for t in range(1, len(x)):
        v[t] = lam * v[t - 1] + (1 - lam) * x[t - 1] ** 2
    return v

xa = x.to_numpy()
a_mano = ewma_var(xa)
# ewm(adjust=False) incluye el día t: se desplaza uno
con_ewm = (x.pow(2).ewm(alpha=0.06, adjust=False).mean()
           .shift(1).to_numpy())
dif = np.abs(np.sqrt(a_mano[300:]) - np.sqrt(con_ewm[300:]))
print(f"Diferencia máxima tras 300 sesiones: {dif.max():.2e}")
ewma = pd.Series(np.sqrt(252 * a_mano), index=x.index)
vol["ewma"] = ewma
(100 * vol.loc["2020-02-14":"2020-05-29"].iloc[::10]).round(1)

Diferencia máxima tras 300 sesiones: 2.32e-11
             v21   v63  v252  ewma
fecha
2020-02-14  10.6  12.1  11.4  10.6
2020-03-02  17.5  13.2  11.7  17.4
2020-03-16  22.7  17.9  13.1  26.5
2020-03-30  27.7  23.4  15.1  34.5
2020-04-14  34.3  26.1  16.7  33.7
2020-04-28  38.2  29.8  18.4  37.4
2020-05-12  45.5  36.7  20.9  40.3
2020-05-27  37.2  38.6  21.7  37.7

Las dos versiones coinciden salvo por el valor inicial, cuyo efecto desaparece en unas semanas (0,94³⁰⁰ es despreciable). Y la diferencia de timing está en la tabla: la EWMA pasa del 10,6 % al 34,5 % en seis semanas y se estabiliza entre el 34 y el 40 % mientras la de 21 sesiones sigue subiendo hasta el 45,5 %.

La figura de la cabecera lo dibuja día a día con la ventana de 63 sesiones, las dos con datos hasta el día anterior. ¿Cuándo pasa cada una del 30 %?

v63 = (x.rolling(63).std() * np.sqrt(252)).shift(1)
for nombre, serie in [("EWMA", ewma), ("Ventana 63", v63)]:
    s = serie.loc["2020"]
    print(f"{nombre:>10}: 30 % el {s[s >= 0.30].index[0].date()},"
          f" máximo {s.max():.1%} el {s.idxmax().date()}")

      EWMA: 30 % el 2020-03-24, máximo 51.1% el 2020-06-16
Ventana 63: 30 % el 2020-04-30, máximo 45.1% el 2020-06-22

La EWMA cruza el 30 % el 24 de marzo; la ventana de 63 sesiones, el 30 de abril, cinco semanas después. Un sistema que reduce la exposición cuando la volatilidad supera un umbral habría reaccionado con más de un mes de diferencia según el estimador. A la salida pasa lo mismo al revés: la EWMA vuelve antes a niveles bajos y devuelve la exposición antes.

Un detalle de la celda importa más que el resto: la varianza del día t usa las rentabilidades hasta t − 1. Si la volatilidad se usa para dimensionar la posición de hoy (volatility targeting, lección 0.7.3), el estimador no puede incluir la rentabilidad de hoy, que aún no ha ocurrido cuando se decide. rolling(...).std() y ewm(...).mean() incluyen el día t: en un backtest, siempre shift(1).

flowchart LR
  R[r hasta t-1] --> S[σ estimada en t]
  S --> P[Posición en t]
  P --> G[Resultado r en t]

Qué estimador prevé mejor

Un estimador de volatilidad es una previsión: dice cuánto se va a mover mañana. Se puede evaluar como cualquier previsión, comparando la varianza estimada con el cuadrado de la rentabilidad del día siguiente. Dos medidas habituales: el error cuadrático medio y la pérdida QLIKE, que penaliza más quedarse corto que pasarse y es robusta al ruido de r²:

Otra forma, más intuitiva: dividir cada rentabilidad por la volatilidad prevista. Si el estimador es bueno, las rentabilidades estandarizadas tienen desviación típica cercana a 1, la curtosis más baja posible y una proporción de días por debajo de −2,33 desviaciones cercana a la que espera la normal (1 %).

prev = pd.DataFrame({
    "v21": x.rolling(21).std(), "v63": x.rolling(63).std(),
    "v252": x.rolling(252).std(),
    "ewma94": np.sqrt(x.pow(2).ewm(alpha=0.06, adjust=False).mean()),
    "ewma97": np.sqrt(x.pow(2).ewm(alpha=0.03, adjust=False).mean()),
}).shift(1)                      # previsión para el día siguiente
d = prev.join(x.rename("r")).dropna()
filas = {}
for c in prev:
    s2, r2 = d[c] ** 2, d["r"] ** 2
    z = d["r"] / d[c]
    filas[c] = {"qlike": (r2 / s2 - np.log(r2 / s2) - 1).mean(),
                "z_desv": z.std(), "z_curtosis": z.kurt(),
                "bajo_-2,33_%": 100 * (z < -2.326).mean()}
pd.DataFrame(filas).T.round(3)

        qlike  z_desv  z_curtosis  bajo_-2,33_%
v21     1.818   1.195      10.664         2.190
v63     1.827   1.122       9.979         2.057
v252    2.180   1.193      11.176         2.588
ewma94  1.696   1.088       7.326         1.924
ewma97  1.751   1.061       9.304         1.924

La EWMA con λ = 0,94 tiene la QLIKE más baja (1,696) y la curtosis más baja (7,3 frente a los 10-11 de las ventanas); la de λ = 0,97 deja la desviación típica más cerca de 1 (1,06 frente a 1,09), y las dos empatan en días bajo −2,33 (1,9 %). Las ventanas quedan por detrás en todo. Ninguna llega al 1 % de días bajo −2,33: las colas siguen siendo más gruesas que las de la normal incluso después de estandarizar (lección 1.6.2). La ventana de 252 sesiones es la peor en QLIKE, curtosis y días bajo −2,33: una volatilidad «del último año» es una mala previsión de la de mañana.

Correlaciones móviles: señal y ruido

La correlación entre dos activos también cambia, y una cartera diversificada depende de ella. La correlación móvil de 63 sesiones entre ISX y FIX:

rc = r["ISX"].rolling(63).corr(r["FIX"])
banda = 1.96 / np.sqrt(63)
print(f"Correlación de toda la muestra: {r.corr().iloc[0, 1]:.3f}")
print(rc.describe().round(3).to_string())
print(f"Banda del 95 % si la correlación real es 0: ±{banda:.3f}")
print(f"Fuera de la banda: {(rc.abs() > banda).mean():.1%}")
print("Máximo:", rc.idxmax().date(), round(rc.max(), 3))

Correlación de toda la muestra: 0.066
count    1697.000
mean        0.010
std         0.155
min        -0.438
25%        -0.080
50%        -0.006
75%         0.099
max         0.511
Banda del 95 % si la correlación real es 0: ±0.247
Fuera de la banda: 10.1%
Máximo: 2025-04-23 0.511

La correlación de toda la muestra es casi nula y la móvil oscila de −0,44 a +0,51. ¿Cambia la relación entre los dos índices o es ruido? Con 63 datos y una correlación real de cero, el 95 % de las estimaciones cae dentro de ±0,247 (error típico ≈ 1/√n). Aquí cae fuera el 10,1 % del tiempo: el doble del 5 % que daría el azar, pero lejos de lo que haría falta para leer cada pico como un cambio. El máximo, de 0,51, es del 23 de abril de 2025, en plena caída de los dos índices, y el pico de marzo de 2020 llega casi a 0,50: los dos episodios de estrés son los dos picos.

Para comprobar cuánto oscila una correlación móvil sin ninguna relación, basta con simularla:

rng = np.random.default_rng(7)
ind = pd.DataFrame(rng.standard_normal((len(r), 2)))
rc0 = ind[0].rolling(63).corr(ind[1])
print(f"Mínimo {rc0.min():.3f}, máximo {rc0.max():.3f}")
print(f"Fuera de la banda: {(rc0.abs() > banda).mean():.1%}")

Mínimo -0.255, máximo 0.300
Fuera de la banda: 1.2%

Dos series sin ninguna relación producen una correlación móvil que va de −0,26 a +0,30. En esta simulación solo el 1,2 % del tiempo queda fuera de la banda: con ventanas solapadas, los valores de días seguidos no son independientes y la fracción de un solo camino varía mucho alrededor del 5 %. Cualquier gráfico de correlación móvil hay que leerlo con esa referencia al lado.

¿Y los periodos de estrés? En los mercados reales suele observarse que las correlaciones entre activos de riesgo suben en las caídas, justo cuando la diversificación haría más falta. En estos datos hay una huella de eso, pero viene de la frecuencia, no del día a día:

for regla, nombre in [("W-FRI", "semanal"), ("ME", "mensual"),
                      ("QE", "trimestral")]:
    rr = np.log(px.resample(regla).last()).diff().dropna()
    print(f"{nombre:>10}: {rr.corr().iloc[0, 1]:.3f}"
          f"  ({len(rr)} datos)")
vol21 = r.rolling(21).std()
print(f"Correlación de las volatilidades de 21 sesiones: "
      f"{vol21['ISX'].corr(vol21['FIX']):.3f}")

   semanal: 0.156  (365 datos)
   mensual: 0.453  (83 datos)
trimestral: 0.819  (27 datos)
Correlación de las volatilidades de 21 sesiones: 0.650

En diario la correlación es 0,06; en semanal, 0,16; en mensual, 0,45, y en trimestral, 0,82. Los dos índices comparten las grandes tendencias del calendario (las caídas de 2020, 2022 y 2025 y las subidas posteriores), pero no los movimientos de cada día, que en estos datos son independientes. Al agregar, el ruido diario se cancela y queda la parte común. Y sus volatilidades sí van juntas (0,65): los regímenes de volatilidad alta son los mismos. Para una cartera, la consecuencia es clara: la diversificación que se mide con datos diarios puede no existir en el horizonte que de verdad importa, el de meses.

Drawdown y tiempo bajo el agua

El drawdown de cada día es la caída desde el máximo anterior:

Su mínimo es el drawdown máximo, la cifra que todo el mundo cita. Pero un drawdown tiene dos dimensiones: cuánto cae y cuánto dura. Un episodio bajo el agua empieza el día en que el precio cae por debajo de su máximo y termina el día en que lo supera de nuevo.

stateDiagram-v2
  [*] --> EnMaximo
  EnMaximo --> BajoElAgua: cae del máximo
  BajoElAgua --> BajoElAgua: sigue por debajo
  BajoElAgua --> EnMaximo: supera el máximo

def episodios(precio):
    pico = precio.cummax()
    dd = precio / pico - 1
    bajo = dd < 0
    grupo = (~bajo).cumsum()         # un número por episodio
    filas = []
    for _, e in dd[bajo].groupby(grupo[bajo]):
        fin = e.index[-1]
        sig = precio.index.searchsorted(fin, side="right")
        recuperado = sig < len(precio)
        filas.append({
            "inicio": e.index[0].date(),
            "minimo": e.idxmin().date(),
            "recupera": precio.index[sig].date()
                        if recuperado else None,
            "profundidad_%": 100 * e.min(),
            "sesiones_hasta_minimo": e.index.get_loc(e.idxmin()) + 1,
            "sesiones_bajo_agua": len(e)})
    return pd.DataFrame(filas), dd

ep, dd_isx = episodios(px["ISX"])
print(f"Sesiones bajo el agua: {(dd_isx < 0).mean():.1%}")
print(f"Episodios: {len(ep)}")
ep.sort_values("profundidad_%").head(5).round(1)

Sesiones bajo el agua: 92.9%
Episodios: 54
        inicio      minimo    recupera  profundidad_%  sesiones_hasta_minimo  sesiones_bajo_agua
22  2020-02-20  2020-04-21  2021-03-29          -43.2                     43                 278
31  2022-02-15  2022-05-25  2023-04-17          -28.9                     70                 292
41  2025-02-20  2025-04-04  2025-06-25          -28.0                     32                  86
35  2023-07-17  2024-01-02  2024-10-03          -18.6                    118                 307
36  2024-10-09  2024-11-26  2025-01-13           -7.2                     35                  64

El 92,9 % de las sesiones ISX está por debajo de su máximo anterior: casi siempre se está «bajo el agua», aunque sea por poco. Lo que distingue a un episodio es su profundidad y su duración, y no van juntas:

ep.sort_values("sesiones_bajo_agua", ascending=False).head(4)[
    ["inicio", "recupera", "profundidad_%",
     "sesiones_hasta_minimo", "sesiones_bajo_agua"]].round(1)

        inicio    recupera  profundidad_%  sesiones_hasta_minimo  sesiones_bajo_agua
35  2023-07-17  2024-10-03          -18.6                    118                 307
31  2022-02-15  2023-04-17          -28.9                     70                 292
22  2020-02-20  2021-03-29          -43.2                     43                 278
41  2025-02-20  2025-06-25          -28.0                     32                  86

El desplome de 2020 es el más profundo (−43,2 %) pero tarda 278 sesiones en recuperarse, menos que el episodio que empieza en julio de 2023, con solo −18,6 % de profundidad y 307 sesiones bajo el agua: una caída moderada seguida de una recuperación lenta. La caída de 2022 dura 292. Para quien sigue una estrategia, catorce meses sin un máximo nuevo pesan tanto como una caída grande: es cuando se abandonan los sistemas. Por eso las métricas de riesgo del nivel 2 (lección 2.6.1) incluyen la duración del drawdown y el Ulcer Index, que combina profundidad y duración.

Lo que esto cambia en un sistema

• Volatilidad con shift(1). Toda estimación que alimente una decisión del día t usa datos hasta t − 1. Con rolling y ewm de pandas, el día t está dentro: desplázalo.
• Elige el estimador por su uso. Para dimensionar posiciones día a día, uno rápido (EWMA, λ = 0,94 o ventana corta); para comparar estrategias o fijar límites de riesgo, uno lento y estable.
• Ninguna correlación sin su banda. Con n datos, el ruido es del orden de ±2/√n. Y mide la correlación a la frecuencia de tu horizonte, no solo en diario.
• Profundidad y duración. Informa el drawdown máximo y el episodio más largo bajo el agua. Son riesgos distintos.

Ejercicios

1. Repite la evaluación de estimadores con FIX y con λ = 0,90, 0,94 y 0,97. ¿Qué λ da la QLIKE más baja en cada índice?

def qlike(serie, lam):
    s2 = serie.pow(2).ewm(alpha=1 - lam, adjust=False).mean()
    dd = pd.DataFrame({"s2": s2.shift(1),
                       "r2": serie.pow(2)}).iloc[63:]
    dd = dd[dd["r2"] > 0]   # días sin variación: ln(0)
    q = dd["r2"] / dd["s2"]
    return (q - np.log(q) - 1).mean()

tabla = pd.DataFrame({ind: {lam: qlike(r[ind], lam)
                            for lam in (0.90, 0.94, 0.97)}
                      for ind in ["ISX", "FIX"]})
tabla.round(4)

         ISX     FIX
0.90  1.6955  1.6794
0.94  1.6973  1.6746
0.97  1.7454  1.7173

2. Calcula la correlación EWMA (λ = 0,94) entre ISX y FIX y compárala con la de ventana de 63 sesiones: ¿cuál oscila más?

a = 0.06
cov = (r["ISX"] * r["FIX"]).ewm(alpha=a, adjust=False).mean()
var_i = r["ISX"].pow(2).ewm(alpha=a, adjust=False).mean()
var_f = r["FIX"].pow(2).ewm(alpha=a, adjust=False).mean()
corr_ewma = (cov / np.sqrt(var_i * var_f)).iloc[63:]
pd.DataFrame({"ventana_63": rc.iloc[63:].describe(),
              "ewma_094": corr_ewma.describe()}).round(3)

       ventana_63  ewma_094
count    1696.000  1696.000
mean        0.010     0.020
std         0.155     0.182
min        -0.438    -0.517
25%        -0.080    -0.083
50%        -0.006     0.006
75%         0.099     0.110
max         0.511     0.699

3. Una estrategia tiene un drawdown máximo del −15 % y otra del −25 %. ¿Qué más necesitas saber antes de decir cuál es menos arriesgada?