VaR, Expected Shortfall y backtesting del VaR.

Respuesta plegada en cada pregunta

Autoevaluación.

1. 01Un VaR al 99 % a un día de 200.000 USD significa que...

   • ALa pérdida máxima posible mañana es 200.000 USD
   • BCon un modelo correcto, la pérdida de mañana supera 200.000 USD con una probabilidad del 1 %; el VaR no dice cuánto se pierde ese día
   • CSe pierden 200.000 USD uno de cada cien días
   • DLa pérdida media de los peores días es 200.000 USD
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   Respuesta B. Con un modelo correcto, la pérdida de mañana supera 200.000 USD con una probabilidad del 1 %; el VaR no dice cuánto se pierde ese día

   El VaR es un cuantil: marca la frontera del 1 % peor, no su tamaño. Lo que hay más allá lo mide el Expected Shortfall, la pérdida media condicionada a superar el VaR.

2. 02El VaR histórico de 250 sesiones tiene un 1,97 % de excesos en los datos y su error medio frente al verdadero es de 105.800 USD, aunque en media está por encima del verdadero. ¿Por qué falla?

   • APorque usa la distribución normal
   • BPorque la ventana es demasiado larga para tener suficientes datos
   • CPorque reacciona tarde: no sube hasta que las pérdidas de la crisis entran en su ventana y no baja hasta que salen, un año después; los excesos se agrupan al principio de cada crisis
   • DPorque el libro tiene media positiva
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   Respuesta C. Porque reacciona tarde: no sube hasta que las pérdidas de la crisis entran en su ventana y no baja hasta que salen, un año después; los excesos se agrupan al principio de cada crisis

   Un cuantil de 250 datos iguales en peso no distingue la volatilidad de ayer de la de hace once meses. Por eso el VaR histórico falla la prueba de independencia de Christoffersen (p 0,000): un exceso hace más probable el siguiente.

3. 03Un banco tiene 7 excesos de su VaR al 99 % en los últimos 250 días. Según la tabla 1 de MAR32, ¿qué ocurre?

   • ANada: está en verde
   • BEstá en rojo y pierde el modelo interno
   • CEl supervisor le obliga a cambiar a un VaR histórico
   • DEstá en zona ámbar y su multiplicador por backtesting pasa de 1,50 a 1,83
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   Respuesta D. Está en zona ámbar y su multiplicador por backtesting pasa de 1,50 a 1,83

   Verde de 0 a 4 excesos (1,50), ámbar de 5 a 9 (1,70, 1,76, 1,83, 1,88 y 1,92) y rojo con 10 o más (2,00). Con un modelo correcto la zona ámbar sale un 10,8 % de las veces: no prueba que el modelo esté mal, pero lo encarece.

4. 04¿Qué comprueba la prueba de Christoffersen que no comprueba la de Kupiec?

   • AQue los excesos no se agrupen: la probabilidad de un exceso no debe depender de si ayer hubo otro
   • BQue el número de excesos sea el esperado
   • CQue la pérdida media de los excesos sea la correcta
   • DQue el VaR sea mayor que el ES
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   Respuesta A. Que los excesos no se agrupen: la probabilidad de un exceso no debe depender de si ayer hubo otro

   Kupiec mira solo la frecuencia. Un VaR puede acertar el 1 % de media y fallar en racha en cada crisis. Christoffersen compara la probabilidad de exceso tras un día sin exceso con la de tras un día con exceso.

5. 05Con 250 días, el valor crítico al 5 % del Z2 de Acerbi y Székely sale −0,69 en la simulación; con 4.780 días, −0,16. ¿Qué implica para el FHS, que da Z2 = −0,229 en la muestra completa?

   • AQue pasa: está por encima de −0,69
   • BQue con toda la muestra se rechaza su ES al 5 % (−0,229 < −0,16), aunque en una ventana de un año ese valor no llamaría la atención
   • CQue el ES del FHS es demasiado alto
   • DQue Z2 no sirve para el FHS
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   Respuesta B. Que con toda la muestra se rechaza su ES al 5 % (−0,229 < −0,16), aunque en una ventana de un año ese valor no llamaría la atención

   El valor crítico depende del número de días: con más datos, desviaciones menores son significativas. El FHS infravalora la cola en conjunto y, con 19 años, se detecta; con uno, no.

Ideas clave.

• El VaR es un cuantil de la pérdida y el ES la media de lo que queda más allá. Basilea usa el VaR al 99 % para el backtesting (MAR32) y el ES al 97,5 % para el capital (MAR33).
• Con el mismo libro, el VaR histórico y el normal de 250 sesiones tienen el doble de excesos de los que deberían, y el error del histórico frente al verdadero es de 105.800 USD de media: reaccionan tarde y se quedan altos un año.
• Un GJR-GARCH-t estimado cada enero con el pasado se queda a 16.200 USD del VaR verdadero de media, pasa Kupiec y Christoffersen y pasa el 88 % del tiempo en verde, como el modelo verdadero.
• La regla de la raíz de 10 falla cuando la volatilidad vuelve a la media: el Monte Carlo del modelo verdadero da 945.000 USD a 10 días en octubre de 2008 frente a 858.000 con la raíz de 10.
• Las pruebas tienen poca potencia con un año de datos: un modelo correcto cae en ámbar el 10,8 % de las veces y uno con el doble de excesos queda en verde a menudo. Hay que mirar series largas, la agrupación y el ES, no solo el conteo.
• El Z2 de Acerbi-Székely contrasta el ES con lo que se guarda cada día (VaR, ES y P&L): rechaza el histórico, el normal, el EWMA y el FHS, y no el GARCH-t ni el verdadero.

Recursos.