Criterio de Kelly y volatility targeting: cuánto arriesgar.

Kelly: cuánto apostar cuando se tiene ventaja

La lección 2.2.2 repartía el riesgo entre mercados con un objetivo de volatilidad fijado a mano, y la 4.2.1 limita lo que se arriesga en cada operación. Falta la pregunta de arriba: cuánto riesgo total conviene tomar con una ventaja dada. John L. Kelly la contestó en 1956 para un jugador que apuesta repetidamente una fracción $f$ de su capital: la que maximiza el crecimiento logarítmico esperado, que es la tasa a la que crece el capital a largo plazo. Para una apuesta que gana $b$ por unidad con probabilidad $p$ y pierde la unidad con $q = 1 - p$:

Una moneda con un 55 % de acierto y pago 1 a 1 da $f^* = 0{,}10$: apostar el 10 % del capital en cada tirada.

import numpy as np
import pandas as pd

p, b = 0.55, 1.0      # probabilidad de ganar y pago por unidad
f_kelly = p - (1 - p) / b
print(f"Fracción de Kelly: {f_kelly:.2f}")


def g(f):
    """Crecimiento logarítmico esperado por apuesta."""
    return p * np.log1p(f * b) + (1 - p) * np.log1p(-f)


fracciones = [0.025, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.30]
pd.Series({f: g(f) for f in fracciones}, name="g").round(5)

Fracción de Kelly: 0.10
0.025    0.00219
0.050    0.00375
0.100    0.00501
0.150    0.00374
0.200   -0.00014
0.300   -0.01620
Name: g, dtype: float64

El crecimiento por apuesta es máximo en $f = 0{,}10$ (0,00501 en logaritmo) y casi simétrico alrededor: con 0,05 y con 0,15 se obtiene lo mismo (0,00375 y 0,00374). Con 0,20, el doble de Kelly, el crecimiento es ya negativo (−0,00014): se juega con ventaja y, aun así, el capital tiende a menguar. Con 0,30 el capital se desvanece. Una media no lo muestra; mil apuestas repetidas por 4.000 jugadores, sí:

rng = np.random.default_rng(7)
gana = rng.random((4000, 1000)) < p     # 4.000 caminos de 1.000

filas = {}
for f in (0.05, 0.10, 0.20, 0.30):
    paso = np.where(gana, np.log1p(f * b), np.log1p(-f))
    lw = np.cumsum(paso, axis=1)                # log de la riqueza
    pico = np.maximum.accumulate(np.maximum(lw, 0), axis=1)
    caida = np.exp(lw - pico) - 1
    filas[f] = {"mediana_final": np.exp(np.median(lw[:, -1])),
                "p_pierde": (lw[:, -1] < 0).mean(),
                "p_mitad_inicial": (lw.min(axis=1)
                                    <= np.log(0.5)).mean(),
                "p_caida_50": (caida.min(axis=1) <= -0.5).mean(),
                "p_caida_80": (caida.min(axis=1) <= -0.8).mean()}
pd.DataFrame(filas).T.round(3)

      mediana_final  p_pierde  p_mitad_inicial  p_caida_50  p_caida_80
0.05         42.632     0.009            0.116       0.854       0.064
0.10        149.660     0.061            0.483       1.000       0.850
0.20          0.871     0.514            0.911       1.000       1.000
0.30          0.000     0.954            0.997       1.000       1.000

Con Kelly (0,10) la mediana de los jugadores multiplica su capital por 150, pero el 6,1 % termina perdiendo, el 48,3 % toca alguna vez la mitad del capital inicial y todos sufren una caída del 50 % desde un máximo. Con medio Kelly (0,05) la mediana multiplica por 43, solo pierde el 0,9 %, el 11,6 % toca la mitad del capital inicial y el 6,4 % sufre una caída del 80 %, frente al 85 % con Kelly. Con el doble de Kelly (0,20) la mitad de los jugadores pierde dinero con una moneda a su favor.

En continuo: la volatilidad óptima es el Sharpe

Para una estrategia con exceso esperado $\mu$ y volatilidad $\sigma$ (anuales), apalancada $f$ veces y rebalanceada a menudo, el crecimiento logarítmico del exceso es $g(f) = f\mu - \tfrac{1}{2}f^2\sigma^2$, una parábola. Su máximo:

La tercera igualdad es la más útil: a Kelly, la volatilidad de la cuenta es igual al Sharpe. Una estrategia de Sharpe 0,5 pide un 50 % de volatilidad anual, sea cual sea su volatilidad propia. Con una fracción $c$ de Kelly, el crecimiento es $g^*(2c - c^2)$ y la volatilidad $c\cdot\mathrm{SR}$. El logaritmo del capital es entonces un movimiento browniano con deriva $\nu = \mathrm{SR}^2(c - c^2/2)$ y varianza $s^2 = c^2\mathrm{SR}^2$, y la probabilidad de que caiga alguna vez hasta una fracción $x$ del capital inicial es $x^{2\nu/s^2} = x^{2/c - 1}$ (la de tocar una barrera inferior, con parámetros conocidos y horizonte infinito):

c = np.array([0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.5, 2.0])
expo = 2 / c - 1          # P(caer alguna vez a x) = x ** expo
pd.DataFrame({"crecimiento_vs_max": 2 * c - c**2,
              "vol_en_sharpes": c,
              "p_caer_a_la_mitad": 0.5 ** expo,
              "p_caer_al_20": 0.2 ** expo},
             index=pd.Index(c, name="fraccion")).round(3)

          crecimiento_vs_max  vol_en_sharpes  p_caer_a_la_mitad  p_caer_al_20
fraccion
0.25                   0.438            0.25              0.008         0.000
0.50                   0.750            0.50              0.125         0.008
0.75                   0.938            0.75              0.315         0.068
1.00                   1.000            1.00              0.500         0.200
1.50                   0.750            1.50              0.794         0.585
2.00                   0.000            2.00              1.000         1.000

La figura de la cabecera dibuja esas dos curvas. El crecimiento es plano cerca del máximo y la probabilidad de caída no: pasar de Kelly a medio Kelly cuesta un 25 % del crecimiento y divide por cuatro la probabilidad de perder la mitad (del 50 % al 12,5 %); un cuarto de Kelly conserva el 44 % del crecimiento con un 0,8 %. Por encima de Kelly todo empeora a la vez: con 1,5 veces Kelly el crecimiento es el mismo que con medio Kelly (0,75) y la probabilidad de perder la mitad, del 79 %. La simulación de la moneda coincide con la fórmula (0,116 y 0,483 frente a 0,125 y 0,5). El error no es simétrico: apostar de menos cuesta poco; apostar de más, mucho.

Kelly en las estrategias del nivel

Las diez estrategias de estrategias4_diarias.parquet son rendimientos diarios simples en exceso del tipo libre, 2006-2025, con una media verdadera conocida (exceso_anual_esperado en estrategias4_verdad.csv). La lección deja fuera degradada, que deja de funcionar en 2019 y es el caso de la lección 4.2.5. Además de $\mu/\sigma^2$, la celda calcula la Kelly «exacta» de los datos (la $f$ que maximiza la media de $\ln(1 + f r_t)$ con los rendimientos diarios reales, colas incluidas) y el apalancamiento que arruina la cuenta en el peor día de la muestra:

from scipy.optimize import minimize_scalar

est = pd.read_parquet("estrategias4_diarias.parquet")
est = est.set_index("fecha").drop(columns="degradada")
verdad = pd.read_csv("estrategias4_verdad.csv",
                     index_col="estrategia").reindex(est.columns)


def kelly_log(r):
    """f que maximiza la media de log(1 + f·r) de los datos."""
    tope = 0.999 / abs(r.min())          # más allá, ruina
    res = minimize_scalar(lambda f: -np.log1p(f * r).mean(),
                          bounds=(0, tope), method="bounded")
    return res.x


mu, var = est.mean() * 252, est.var() * 252
tabla = pd.DataFrame({
    "mu": mu, "vol": np.sqrt(var),
    "kelly": mu / var,
    "kelly_verdad": verdad["exceso_anual_esperado"] / var,
    "kelly_log": est.apply(kelly_log),
    "ruina": 1 / est.min().abs()})
tabla.round(2)

                     mu   vol  kelly  kelly_verdad  kelly_log  ruina
tendencia_futuros  0.06  0.11   4.97          4.30       4.94  20.25
carry_futuros      0.03  0.08   5.06          5.63       5.02  31.35
carry_divisas      0.05  0.09   5.81          3.81       5.73  21.78
venta_puts         0.04  0.12   2.56          2.82       2.54  15.25
pares              0.02  0.06   6.72          8.43       6.61  25.65
momentum_acciones  0.05  0.12   3.19          2.83       3.12  12.44
valor_acciones     0.02  0.09   3.01          3.06       3.01  31.49
venta_volatilidad  0.04  0.16   1.55          2.61       1.47   5.19
reversion_corto    0.03  0.07   6.41          5.61       6.36  24.95

Tres lecturas:

• Las Kelly son grandes: de 1,5 a 6,7 veces el capital para estrategias sueltas con volatilidades del 6 al 16 %. Es la consecuencia de $f^*\sigma = \mathrm{SR}$: con un Sharpe de 0,4, Kelly pide un 40 % de volatilidad.
• La media muestral se aleja de la verdadera aunque haya 20 años: en carry_divisas la Kelly muestral es 5,81 y la verdadera 3,81; en venta_volatilidad, 1,55 frente a 2,61. Con la media de la muestra se apuesta un 50 % de más en la primera y un 40 % de menos en la segunda.
• Las colas mandan en la venta de volatilidad. Su Kelly exacta (1,47) es menor que la de la fórmula, y el apalancamiento de ruina, 5,19 veces, está a solo dos veces de la Kelly verdadera: el peor día de la muestra pierde un 19,3 %. En las demás, la ruina queda a 12-31 veces el capital y la fórmula y la Kelly exacta casi coinciden.

Con nueve estrategias poco correlacionadas, la cartera equiponderada tiene un Sharpe mayor y una volatilidad mucho menor, y Kelly se dispara:

cartera = est.mean(axis=1)          # equiponderada, rend. simples
k_cartera = cartera.mean() / cartera.var()
print(f"Kelly de la cartera: {k_cartera:.1f} veces el capital")
print(f"Volatilidad a Kelly: {k_cartera * cartera.std() * 252**.5:.0%}")


def resultado(r):
    w = (1 + r).cumprod()
    años = len(r) / 252
    return {"cagr": w.iloc[-1] ** (1 / años) - 1
            if w.iloc[-1] > 0 else -1.0,
            "max_caida": (w / w.cummax() - 1).min(),
            "peor_dia": r.min(),
            "ruina": bool((w <= 0).any())}


fr = {c: resultado(c * k_cartera * cartera)
      for c in (0.125, 0.25, 0.5, 1.0, 2.0)}
print("Peor día:", cartera.idxmin().date())
pd.DataFrame(fr).T.astype(float).round(3)

Kelly de la cartera: 18.8 veces el capital
Volatilidad a Kelly: 84%
Peor día: 2018-02-05
        cagr  max_caida  peor_dia  ruina
0.125  0.086     -0.315    -0.053    0.0
0.250  0.167     -0.544    -0.106    0.0
0.500  0.303     -0.816    -0.213    0.0
1.000  0.417     -0.979    -0.426    0.0
2.000 -0.081     -1.000    -0.851    0.0

Kelly pide 18,8 veces el capital y un 84 % de volatilidad. Con la Kelly de toda la muestra (que usa la media de 20 años desde el primer día: anticipación) el resultado es el de la teoría con un matiz: Kelly completo da el mayor CAGR (41,7 %), pero con una caída máxima del −97,9 % y un día, el 5 de febrero de 2018, en que pierde el 42,6 % del capital. Un octavo de Kelly (2,3 veces) da un 8,6 % con una caída del −31,5 %. El doble de Kelly pierde un 8,1 % al año y se queda con una caída del 100 % (redondeada). Ninguna fracción llega a la ruina estricta (la cuenta no pasa de cero porque el peor día de la cartera pierde un 2,3 %), pero una caída del 98 % es una ruina a efectos prácticos.

Con lo que se sabía cada día (media y varianza desde el inicio, con tres años de arranque y sin posiciones cortas), la Kelly de la cartera empieza en cero en 2009, porque la crisis de 2008 dejó la media de la muestra en negativo, y sube a 5,9 en 2013, 14,6 en 2017 y 18,7 en 2025:

mu_t = cartera.expanding(756).mean().shift(1)
var_t = cartera.expanding(756).var().shift(1)
k_t = (mu_t / var_t).clip(lower=0)       # sin posiciones cortas
print(k_t.resample("YE").last().loc["2009":"2025":4].round(1))
pd.DataFrame({c: resultado((c * k_t * cartera).dropna())
              for c in (0.25, 0.5, 1.0)}).T.astype(float).round(3)

fecha
2009-12-31     0.0
2013-12-31     5.9
2017-12-31    14.6
2021-12-31    16.2
2025-12-31    18.7
Freq: 4YE-DEC, dtype: float64
       cagr  max_caida  peor_dia  ruina
0.25  0.129     -0.346    -0.084    0.0
0.50  0.251     -0.581    -0.168    0.0
1.00  0.450     -0.839    -0.337    0.0

El CAGR de Kelly completo sale incluso mayor (45,0 %) porque llegó tarde a la estrategia y con poco apalancamiento a las caídas de 2009-2012; la caída máxima, del −83,9 %, y el peor día, del −33,7 %, siguen siendo los de una cuenta que nadie mantendría. La suerte del calendario decide aquí más que la regla.

El error de estimación

Kelly supone que $\mu$ y $\sigma$ se conocen. La volatilidad se estima bien con pocos datos; la media, no. Con $T$ años de datos, la media muestral tiene un error típico de $\sigma/\sqrt{T}$, así que la Kelly estimada es $\hat f = f^*\,u$ con $u \sim N\!\left(1, \tfrac{1}{\mathrm{SR}^2 T}\right)$. Apostar una fracción $c$ de la Kelly estimada da un crecimiento esperado, relativo al de la Kelly verdadera, de