Spreads de tipos y de índices: 2s10s, NOB, NQ/ES y Europa frente a EE. UU..

Apostar por la pendiente, no por el nivel

La pendiente 2s10s es la diferencia entre el rendimiento a 10 años y el de 2 (lección 1.2.7). Una opinión sobre ella (que la curva se va a empinar, o a aplanar) no es una opinión sobre los tipos: la curva puede empinarse con tipos que suben (el 10 años sube más) o que bajan (el 2 años baja más). Para operar solo la pendiente con futuros hay que comprar uno y vender otro de forma que un movimiento paralelo de toda la curva no gane ni pierda.

La herramienta es el DV01 de cada futuro: cuántos dólares gana o pierde un contrato si el rendimiento de su bono de referencia baja un punto básico. Los datos (tipos3_dv01.csv) lo dan para el contrato que se tiene de cada futuro de tipos. Son datos sintéticos: TPA, TPB, TPC y TPD imitan a las notas a 2, 5 y 10 años y al bono del Tesoro de EE. UU. (ZT, ZF, ZN, ZB), y TPE al Bund; cada contrato es el precio a plazo de un bono estándar con cupón del 6 % (el «CTD» del modelo, con factor de conversión 1).

import numpy as np
import pandas as pd

dv = pd.read_csv("tipos3_dv01.csv", parse_dates=["fecha"])
cols = ["mercado", "contrato", "liquidacion", "rendimiento_ctd",
        "vencimiento_ctd_anos", "duracion_modificada", "dv01"]
dv.loc[dv["fecha"] == "2025-12-31", cols].set_index("mercado")

        contrato  liquidacion  rendimiento_ctd  vencimiento_ctd_anos  duracion_modificada    dv01
mercado
TPA       TPAH26   104.273438           3.6651                 2.147                2.040   42.55
TPB       TPBH26   108.750000           3.7311                 4.447                3.973   43.21
TPC       TPCH26   112.546875           3.8286                 6.816                5.729   64.47
TPD       TPDH26   121.625000           4.1319                16.216               11.056  134.46
TPE       TPEH26   126.910000           2.5060                 8.878                7.240   91.88

Un contrato de TPC gana o pierde 64,47 USD por punto básico; uno de TPA, 42,55, aunque su nominal es el doble (200.000 frente a 100.000): el bono a 2 años es mucho menos sensible a los tipos. Para igualar el DV01 de un contrato de TPC hacen falta $h = 64{,}47 / 42{,}55 = 1{,}52$ contratos de TPA. Esa es la cobertura neutral en DV01:

donde «corto» y «largo» se refieren al plazo, no al signo: el empinador está largo en $h$ contratos del plazo corto y corto en uno del largo.

flowchart TB
  M[Curva se mueve] --> P[Paralelo]
  M --> E[Se empina]
  M --> A[Se aplana]
  P --> P0[Empinador: 0]
  E --> E1[Empinador: gana]
  A --> A1[Empinador: pierde]

El NOB (notes over bonds) es el mismo spread entre la nota a 10 años y el bono. El ratio no es fijo: el DV01 de cada futuro cambia con el nivel de los tipos y con el bono que se entrega.

d01 = dv.pivot(index="fecha", columns="mercado", values="dv01")
ratios = pd.DataFrame({"2s10s (TPA por TPC)": d01["TPC"] / d01["TPA"],
                       "NOB (TPC por TPD)": d01["TPD"] / d01["TPC"]})
print(ratios.describe().loc[["min", "50%", "max"]].round(2))
ratios.resample("YE").mean().round(2).T.iloc[:, ::3]

     2s10s (TPA por TPC)  NOB (TPC por TPD)
min                 1.41               1.94
50%                 1.59               2.23
max                 1.87               2.93
fecha                2010-12-31  2013-12-31  2016-12-31  2019-12-31  2022-12-31  2025-12-31
2s10s (TPA por TPC)        1.52        1.55        1.62        1.68        1.56        1.53
NOB (TPC por TPD)          2.03        2.11        2.30        2.53        2.22        2.15

En los datos, el 2s10s necesita entre 1,41 y 1,87 contratos de TPA por cada uno de TPC, y el NOB entre 1,94 y 2,93 de TPC por cada TPD. CME lista estos spreads como instrumentos con ratios fijos: 2:1 en el 2 años frente al 10 (TUT) y 2:1 en el 10 años frente al bono (NOB), entre otros, que según la propia CME se espera que no cambien salvo cambios sustanciales del mercado. Un ratio fijo es cómodo (una sola orden, un solo precio), pero solo es neutral en DV01 cuando coincide con el de los DV01. Las coberturas por nominal, por DV01 y por volatilidad, y cómo elegir entre ellas, son el tema de la lección 3.2.4.

El empinador neutral en DV01

Antes de construir el spread conviene comprobar que el DV01 dice lo que promete. El P&L diario de un largo en TPC (con los mismos contratos de un día a otro, como en la lección 3.2.1), dividido por el cambio del rendimiento de su bono de referencia en puntos básicos:

cur = pd.read_parquet("futuros3_curvas.parquet")
ctr = pd.read_csv("futuros3_contratos.csv",
                  parse_dates=["vencimiento", "fecha_roll"])
esp = pd.read_csv("futuros3_especificaciones.csv",
                  index_col="mercado")

def cambio(mercado, log=False):
    """Cambio diario del contrato que se tenía al cierre anterior
    (el primero que no ha llegado a su fecha_roll; lección 3.2.1)."""
    c = cur[cur["mercado"] == mercado].merge(
        ctr[["contrato", "vencimiento", "fecha_roll"]], on="contrato")
    px = c.pivot(index="fecha", columns="contrato",
                 values="liquidacion")
    d = (np.log(px) if log else px).diff().stack()
    c = c[c["fecha"] < c["fecha_roll"]].sort_values(
        ["fecha", "vencimiento"])
    ley = c.groupby("fecha")["contrato"].first().shift(1).dropna()
    idx = pd.MultiIndex.from_arrays([ley.index, ley.to_numpy()])
    return pd.Series(d.reindex(idx).to_numpy(), index=ley.index)

def pyg(mercado):
    """P&L diario por contrato, en la divisa del contrato."""
    return cambio(mercado) * esp.loc[mercado, "multiplicador"]

usd_pb = pyg("TPC") / (dv[dv["mercado"] == "TPC"].set_index("fecha")
                       ["rendimiento_ctd"].diff() * 100)
print(f"P&L de un largo en TPC por pb de subida del CTD: "
      f"{usd_pb.median():.1f} USD (DV01 medio "
      f"{d01['TPC'].mean():.1f})")

P&L de un largo en TPC por pb de subida del CTD: -70.1 USD (DV01 medio 70.4)

Un largo en TPC pierde de mediana 70,1 USD por cada punto básico que sube el rendimiento, y el DV01 medio de la serie es 70,4. Con eso, el empinador:

yld = dv.pivot(index="fecha", columns="mercado",
               values="rendimiento_ctd")

def empinador(corto, largo):
    """Largo en h contratos del plazo corto y corto en 1 del largo,
    h = DV01 largo / DV01 corto de la sesión anterior."""
    h = (d01[largo] / d01[corto]).shift(1)
    p = (h * pyg(corto) - pyg(largo)).dropna()
    nivel = yld[largo].diff().reindex(p.index) * 100       # pb
    pendiente = (yld[largo] - yld[corto]).diff().reindex(
        p.index) * 100
    return p, nivel, pendiente

p, nivel, pend = empinador("TPA", "TPC")
dp = (yld["TPC"] - yld["TPA"]).iloc[[0, -1]].diff().iloc[-1]
print(f"P&L acumulado 2010-2025: {p.sum():,.0f} USD por contrato "
      "de TPC")
print(f"Cambio de la pendiente CTD en el periodo: {100 * dp:+.0f} pb")
print(f"Correlación del P&L diario con el cambio de pendiente: "
      f"{p.corr(pend):.2f}; con el de nivel: {p.corr(nivel):.2f}")

P&L acumulado 2010-2025: -29,452 USD por contrato de TPC
Cambio de la pendiente CTD en el periodo: -193 pb
Correlación del P&L diario con el cambio de pendiente: 0.99; con el de nivel: 0.49

La figura de la cabecera lo resume: entre 2010 y 2025 la pendiente sintética (rendimiento del bono de referencia del 10 años menos el del 2) pasó de unos 200 pb a valores negativos, con un cambio total de −193 pb, y el empinador perdió 29.452 USD por contrato de TPC. Su P&L diario tiene una correlación de 0,99 con el cambio de la pendiente. El P&L acumulado no es exactamente la pendiente por el DV01, porque a lo largo de 16 años cambian los DV01, el bono de referencia de cada contrato y la financiación de las dos patas; pero el día a día sí lo es.

La correlación con el nivel (0,49) no es cero. ¿Es neutral la posición al nivel o no? Para separar las dos cosas, una regresión del P&L diario sobre el cambio del rendimiento a 10 años («nivel»), sola y junto al cambio de la pendiente:

def betas(p, nivel, pend):
    filas = {}
    for per, (a, b) in {"2010-2015": ("2010", "2015"),
                        "2016-2025": ("2016", "2025")}.items():
        y, l, s = p.loc[a:b], nivel.loc[a:b], pend.loc[a:b]
        sola = np.polyfit(l, y, 1)[0]
        X = np.column_stack([np.ones(len(y)), l, s])
        _, b_niv, b_pend = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)[0]
        filas[per] = {"nivel_sola": sola, "nivel_con_pend": b_niv,
                      "pendiente": b_pend}
    return pd.DataFrame(filas).T.round(1)

pd.concat({"2s10s": betas(p, nivel, pend),
           "NOB": betas(*empinador("TPC", "TPD"))})

                 nivel_sola  nivel_con_pend  pendiente
2s10s 2010-2015        34.0            -0.2       71.7
      2016-2025        15.1             1.1       69.5
NOB   2010-2015        13.0             0.1      156.6
      2016-2025        14.2             1.0      158.2

Con la pendiente en la regresión, la beta al nivel es casi cero (−0,2 y 1,1 USD por pb en el 2s10s; 0,1 y 1,0 en el NOB) y la beta a la pendiente es casi el DV01 de la pata del plazo largo: 69,5-71,7 USD por pb en el 2s10s (DV01 del 10 años, 70-71) y 156,6-158,2 en el NOB (DV01 del bono, 155-163). Es la respuesta conocida del README de los datos, y la regresión la recupera. La posición es neutral a un desplazamiento paralelo. Pero la beta al nivel sola, sin la pendiente, es de 34 USD por pb en el 2s10s de 2010-2015 y de 13-15 en los demás casos. La explicación está en cómo se movían los dos plazos:

dy = yld.diff() * 100
vol = dy.groupby(dy.index.year >= 2016)[["TPA", "TPC", "TPD"]].std()
vol.index = ["2010-2015", "2016-2025"]
vol.round(2)

mercado     TPA   TPC   TPD
2010-2015  4.00  6.22  6.33
2016-2025  6.95  7.13  7.30

En 2010-2015, con los tipos a corto cerca de cero, el rendimiento a 2 años se movía 4,00 pb al día de desviación típica frente a 6,22 del de 10 años. Una subida del 10 años era casi siempre un empinamiento, así que, en la práctica, el empinador se comportaba en buena parte como un corto en la nota a 10 años. Neutral en DV01 quiere decir neutral a un movimiento paralelo, no neutral a lo que de verdad hace la curva. Desde 2016, con el 2 años tan volátil como el 10 (6,95 frente a 7,13 pb), la beta al nivel sola baja a 15.

NQ/ES: un índice frente a otro

El spread de índices más operado en EE. UU. es el del Nasdaq-100 frente al S&P 500 (NQ/ES): una apuesta por las tecnológicas frente al mercado amplio. En los datos, RVB imita al E-mini Nasdaq-100 y RVA al E-mini S&P 500. En el modelo, el rendimiento logarítmico de cada futuro es su deriva propia (7,0 % anual en RVA, 9,5 % en RVB), más una beta por un factor de mercado común (1,00 y 1,15) y un ruido propio. Con los mismos contratos de un día a otro:

r = pd.DataFrame({m: cambio(m, log=True)
                  for m in ["RVA", "RVB", "RVE"]}).dropna()
beta = r.cov().loc["RVB", "RVA"] / r["RVA"].var()
print(f"Beta de RVB a RVA: {beta:.3f}; correlación: "
      f"{r['RVB'].corr(r['RVA']):.2f}")
for nombre, s in {"nominal (1:1)": r["RVB"] - r["RVA"],
                  "beta": r["RVB"] - beta * r["RVA"]}.items():
    media, vol = s.mean() * 252, s.std() * 252 ** 0.5
    t = media / vol * (len(s) / 252) ** 0.5
    print(f"Neutral por {nombre}: deriva {media:+.1%}/año, "
          f"vol {vol:.1%}, t = {t:.2f}, "
          f"correlación con RVA {s.corr(r['RVA']):+.2f}")

Beta de RVB a RVA: 1.151; correlación: 0.91
Neutral por nominal (1:1): deriva +3.2%/año, vol 10.4%, t = 1.21, correlación con RVA +0.28
Neutral por beta: deriva +1.4%/año, vol 10.0%, t = 0.56, correlación con RVA +0.00

La beta medida (1,151) recupera la plantada (1,15). Hay dos formas habituales de construir el spread:

• Neutral por nominal (un dólar largo por un dólar corto): es la que describe CME con su spread ratio, el cociente de los nominales de los dos contratos calculados con el índice al contado. Conserva la diferencia de betas: 1,15 − 1 = 0,15 del mercado. En los datos, su correlación con RVA es 0,28 y su deriva, +3,2 % anual.
• Neutral por beta (1,15 dólares de RVA por dólar de RVB): elimina el factor de mercado. Su correlación con RVA es 0,00 y su deriva es la relativa pura, que en el modelo vale $9{,}5 - 1{,}15 \cdot 7{,}0 = 1{,}45$ % al año. La medida es +1,4 %.

La estimación de la deriva neutral por beta es casi exacta, y aun así no significa nada: con una volatilidad del 10 % anual y 16 años, el error típico de la media es $10/\sqrt{16} = 2{,}5$ puntos, y $t = 0{,}56$. El spread neutral por nominal parece mejor (t = 1,21, +50 % acumulado en la figura), pero su ventaja viene casi toda del 0,15 de mercado que lleva dentro, que gana mientras la bolsa sube y pierde cuando cae (el tramo de 2016 de la figura es el más visible). Es el mismo punto de la lección 3.2.1 con el calendario de crudo: lo que se llama «spread» puede ser, en parte, una posición direccional.

Pasar a contratos:

idx = pd.read_csv("futuros3_indices_contado.csv",
                  parse_dates=["fecha"])
s = idx[idx["fecha"] == "2025-12-31"].set_index("indice")["contado"]
nominal = s[["RVA", "RVB"]] * esp.loc[["RVA", "RVB"], "multiplicador"]
print(nominal.round(0).to_string())
n_b = 1e6 / nominal["RVB"]
print(f"Largo en RVB: {n_b:.1f} contratos; corto en RVA neutral por "
      f"nominal: {n_b * nominal['RVB'] / nominal['RVA']:.1f}; "
      f"por beta: {beta * n_b * nominal['RVB'] / nominal['RVA']:.1f}")

indice
RVA    335966.0
RVB    435294.0
Largo en RVB: 2.3 contratos; corto en RVA neutral por nominal: 3.0; por beta: 3.4

Un millón de USD en RVB son 2,3 contratos (435.294 USD de nominal cada uno a 2025-12-31); el lado corto, 3,0 contratos de RVA neutral por nominal o 3,4 neutral por beta. Con contratos grandes, un spread de un millón no se puede ajustar con precisión: los micros (RVAM, RVBM, una décima parte del multiplicador, lección 3.1.1) existen, entre otras cosas, para eso. Y la beta no es fija: el segundo ejercicio la mide año a año.

Europa frente a EE. UU.: la divisa

El spread de Europa frente a EE. UU. añade una dificultad: las patas cotizan en monedas distintas. En los datos, RVE imita al Euro Stoxx 50 y cotiza en QEV (el evro de Vesperia, que imita al euro); RVA, en USD. Si un inversor compra las acciones europeas con dólares, tiene el índice europeo y además la divisa: su rendimiento en USD es el del índice en QEV más el del QEV frente al USD. Con un futuro no hace falta cambiar el nominal: se deposita un margen y se liquida cada día el P&L, en QEV. El riesgo de divisa queda limitado a ese P&L acumulado y al margen.

flowchart LR
  C[Contado europeo] --> N[Nominal en QEV]
  N --> X1[Expuesto entero]
  F[Futuro RVE] --> P[Resultado en QEV]
  P --> X2[Solo el resultado]

fx = pd.read_parquet("fx3_diario.parquet")
x = fx[fx["divisa"] == "QEV"].set_index("fecha")["usd_por_unidad"]
r_fx = np.log(x).diff().reindex(r.index)
contado_usd = r["RVE"] + r_fx          # índice europeo pasado a USD
futuro_usd = np.expm1(r["RVE"]) * x.reindex(r.index) / x.shift(
    1).reindex(r.index)                # P&L del futuro, en USD
for nombre, s in {"RVE en QEV": r["RVE"],
                  "RVE en USD (contado)": contado_usd,
                  "futuro RVE, P&L en USD": futuro_usd}.items():
    print(f"{nombre:24s} vol {s.std() * 252 ** 0.5:.1%}  "
          f"correlación con RVA {s.corr(r['RVA']):.2f}")

RVE en QEV               vol 20.9%  correlación con RVA 0.86
RVE en USD (contado)     vol 22.9%  correlación con RVA 0.78
futuro RVE, P&L en USD   vol 20.9%  correlación con RVA 0.86

En QEV, el índice europeo tiene una volatilidad del 20,9 % y una correlación de 0,86 con RVA. Pasado a USD como contado, la volatilidad sube al 22,9 % y la correlación baja a 0,78: la divisa añade ruido que no tiene nada que ver con la bolsa. El P&L del futuro convertido a USD cada día se queda como el índice en QEV (20,9 % y 0,86). Un spread de Europa frente a EE. UU. con futuros es, por tanto, casi un spread en moneda local; con contado, es además una posición en la divisa. Cómo gestionar ese riesgo en una cartera multimoneda es el tema de la lección 3.3.3.

Lo que esto cambia en un sistema

• El ratio decide la apuesta. Neutral en DV01, la posición apuesta por la pendiente; con otro ratio, también por el nivel. Neutral por nominal, un spread de índices apuesta también por el mercado; neutral por beta, no.
• Neutral a un movimiento no es neutral a todos. Cerca de tipos cero, un empinador neutral en DV01 tiene una beta al nivel de 34 USD por pb. La exposición residual se mide en los datos del régimen, con una regresión.
• Los ratios se mueven. El DV01 y la beta cambian con el tiempo; los spreads listados con ratio fijo son cómodos, pero no neutrales siempre. Rehacer el ratio cada día tiene un coste de ejecución (lección 3.2.5).
• Una deriva relativa no se valida con 16 años. Con un 10 % de volatilidad, hace falta una deriva de más de 5 puntos al año para que la t pase de 2.
• La divisa, solo en el P&L. Con futuros, el riesgo de divisa es el del P&L y el margen; con contado, el del nominal.

Ejercicios

1. Construye el 2s10s con el ratio fijo de 2:1 (dos contratos de TPA por uno de TPC) y repite la regresión de betas. ¿Qué exposición al nivel queda con la pendiente en la regresión y por qué tiene ese signo?

p_fijo = (2 * pyg("TPA") - pyg("TPC")).dropna()
betas(p_fijo, nivel.reindex(p_fijo.index),
      pend.reindex(p_fijo.index))

           nivel_sola  nivel_con_pend  pendiente
2010-2015        23.8           -19.6       91.1
2016-2025         1.0           -16.6       87.7

2. Estima la beta de RVB a RVA en cada año de 2010 a 2025. ¿Cuánto varía y qué consecuencia tiene para un spread neutral por beta que se calibra con un año de datos?

por_ano = r.groupby(r.index.year).apply(
    lambda g: g["RVB"].cov(g["RVA"]) / g["RVA"].var())
print(por_ano.round(2).to_frame("beta").T.to_string())
print(f"De {por_ano.min():.2f} a {por_ano.max():.2f}")

fecha  2010  2011  2012  2013  2014  2015  2016  2017  2018  2019  2020  2021  2022  2023  2024  2025
beta   1.15  1.21  1.15  1.12  1.13  1.15  1.14  1.15  1.17  1.06  1.15   1.1  1.15  1.19  1.16  1.17
De 1.06 a 1.21

3. Un gestor con una cartera de acciones europeas en USD quiere apostar por que Europa lo hará mejor que EE. UU. sin añadir riesgo de divisa. Compara hacerlo con futuros (largo en el futuro europeo, corto en el estadounidense) y con contado (comprar acciones europeas y vender un ETF de EE. UU.).