Volatilidad realizada frente a implícita; prima de riesgo de volatilidad; VIX y VSTOXX.

Dos volatilidades distintas

La palabra «volatilidad» designa dos cosas que conviene no confundir:

• La volatilidad realizada es una medida estadística del pasado: la desviación típica anualizada de los rendimientos de un periodo ya ocurrido. Con rendimientos logarítmicos diarios $r_t$ y $n$ sesiones, $\sigma_{\text{real}} = \sqrt{(252/n)\sum r_t^2}$ (sin restar la media, como en los contratos de varianza). Hay estimadores mejores con máximos y mínimos (el research «Estimadores de volatilidad» del sitio los compara), pero el de cierre a cierre es el que liquidan los derivados.
• La volatilidad implícita es un precio: lo que el mercado de opciones cobra hoy por la volatilidad de un periodo futuro (lecciones 3.4.4 y 3.4.5). No es una previsión neutral, porque incluye lo que los compradores pagan por protegerse.

La diferencia entre la implícita de hoy y la realizada que llega después es la prima de riesgo de volatilidad. Si es positiva de media, vender volatilidad gana dinero de media; la pregunta es a cambio de qué riesgo. Para medirla hace falta una implícita a plazo constante, y el estándar del mercado es el VIX de Cboe: la volatilidad implícita a 30 días del S&P 500 calculada con toda la cadena de opciones, no con una sola.

flowchart TB
  O[Opciones OTM] --> V[Varianza a T1 y T2]
  V --> I[Interpolar a 30 d]
  I --> X[VIX = 100 raíz]
  X --> P{Comparar}
  R[Realizada 30 días] --> P
  P --> VRP[Prima de riesgo]

De la cadena al índice: la fórmula de Cboe

El VIX nació en 1993 sobre opciones ATM del S&P 100. En 2003 Cboe, con Goldman Sachs, lo rehízo sobre las opciones del S&P 500 con la fórmula actual, que no depende de ningún modelo de valoración11Nota 1 · Historia y reglas actuales: Cboe, Volatility Index Methodology: Cboe Volatility Index (versión 6.0) y Cboe Volatility Index Mathematics Methodology; versión mensual con al menos una semana de vida: libro blanco de 2009. Enlaces en los recursos de la lección.. La idea es de la teoría de los swaps de varianza (Demeterfi, Derman, Kamal y Zou, 1999; Carr y Madan, 1998): una cartera de opciones fuera del dinero con pesos inversamente proporcionales al cuadrado del strike replica la varianza realizada, sea cual sea el nivel del índice. Su precio, por tanto, es la varianza esperada bajo la medida de valoración. Para un vencimiento $T$:

Cada término tiene su regla en la metodología de Cboe:

Después se interpolan los dos vencimientos a 30 días en varianza total y se pasa a volatilidad:

El VIX real usa hoy opciones con más de 23 y menos de 37 días, mensuales y semanales, y cuenta el tiempo en minutos. El libro blanco de 2009, con solo vencimientos mensuales, tomaba los dos primeros vencimientos con al menos una semana de vida. Esa versión mensual es la que usa el VORX, el índice tipo VIX de los datos del curso sobre el índice ficticio ORX (vol3_indices.csv): los dos primeros vencimientos con al menos 8 días, plazo en días naturales y tipo interpolado linealmente en la curva de opciones3_indice.csv. Su respuesta conocida es que se recalcula exactamente desde los ficheros publicados.

El VORX de un día, paso a paso

import math
import numpy as np
import pandas as pd

cad = pd.read_parquet("opciones3_cadena.parquet")
ind = pd.read_csv("opciones3_indice.csv", parse_dates=["fecha"]) \
    .set_index("fecha")
vx = pd.read_csv("vol3_indices.csv", parse_dates=["fecha"]) \
    .set_index("fecha")

ancha = cad.pivot_table(index=["fecha", "vencimiento", "strike"],
                        columns="tipo", values=["bid", "ask"])
ancha.columns = [f"{a}_{t}" for a, t in ancha.columns]
ancha = ancha.dropna().reset_index()   # strikes con call y put

PLAZOS = np.array([1 / 12, 0.25, 0.5, 1.0, 2.0])
CURVA = ["tipo_1m", "tipo_3m", "tipo_6m", "tipo_1a", "tipo_2a"]


def tipo(fecha, T):
    """Tipo continuo a plazo T: interpolación lineal de la curva."""
    return float(np.interp(T, PLAZOS, ind.loc[fecha, CURVA])) / 100


hoy = pd.Timestamp("2025-06-04")
dia = ancha[ancha["fecha"] == hoy]
print({f"{(v - hoy).days} días": len(g)
       for v, g in dia.groupby("vencimiento")})

{'16 días': 48, '44 días': 45, '72 días': 40}

pivot_table deja una fila por strike con el bid y el ask de la call y de la put. Ese día hay tres vencimientos en la cadena diaria, a 16, 44 y 72 días, con 48, 45 y 40 strikes que tienen las dos patas.

def hasta_dos_ceros(bid):
    """Desde K0 hacia fuera: fuera los bids nulos; se para al
    encontrar dos seguidos."""
    nulo = bid <= 0
    pares = np.flatnonzero(nulo[:-1] & nulo[1:])
    fin = pares[0] if len(pares) else len(bid)
    usar = ~nulo
    usar[fin:] = False
    return usar


def var_cboe(g, T, R, detalle=False):
    K = g["strike"].to_numpy()
    c = ((g["bid_C"] + g["ask_C"]) / 2).to_numpy()
    p = ((g["bid_P"] + g["ask_P"]) / 2).to_numpy()
    j = np.argmin(np.abs(c - p))
    F = K[j] + math.exp(R * T) * (c[j] - p[j])
    i0 = np.flatnonzero(K <= F)[-1]
    ip = np.arange(i0 - 1, -1, -1)       # puts, hacia abajo
    ic = np.arange(i0 + 1, len(K))       # calls, hacia arriba
    ip = ip[hasta_dos_ceros(g["bid_P"].to_numpy()[ip])][::-1]
    ic = ic[hasta_dos_ceros(g["bid_C"].to_numpy()[ic])]
    idx = np.r_[ip, i0, ic]
    Q = np.r_[p[ip], (c[i0] + p[i0]) / 2, c[ic]]
    Ks = K[idx]
    dK = np.gradient(Ks)   # centrado; en los bordes, el vecino
    aporte = 2 / T * dK / Ks ** 2 * Q * math.exp(R * T)
    s2 = aporte.sum() - (F / K[i0] - 1) ** 2 / T
    if detalle:
        return s2, F, K[i0], pd.DataFrame(
            {"strike": Ks, "tipo": ["P"] * len(ip) + ["PC"]
             + ["C"] * len(ic), "Q": Q, "aporte": aporte})
    return s2


for v, g in dia.groupby("vencimiento"):
    n = (v - hoy).days
    T = n / 365
    s2, F, K0, tabla = var_cboe(g, T, tipo(hoy, T), detalle=True)
    puts = tabla.loc[tabla["tipo"] == "P", "aporte"].sum()
    print(f"{n} días: F = {F:.2f}, K0 = {K0:.0f}, "
          f"{len(tabla)} strikes, σ² = {s2:.6f}, "
          f"vol = {100 * math.sqrt(s2):.2f}, "
          f"puts {puts / tabla['aporte'].sum():.0%}")

16 días: F = 5143.89, K0 = 5100, 32 strikes, σ² = 0.065072, vol = 25.51, puts 56%
44 días: F = 5155.03, K0 = 5150, 40 strikes, σ² = 0.067723, vol = 26.02, puts 69%
72 días: F = 5166.23, K0 = 5150, 39 strikes, σ² = 0.069099, vol = 26.29, puts 69%

Para cada vencimiento, el forward sale de la paridad en el strike con $|C - P|$ mínimo, $K_0$ es el strike justo por debajo y la selección deja 32, 40 y 39 strikes: en el de 16 días se quedan fuera las alas con bids nulos. Las puts aportan el 56 %, el 69 % y el 69 % de la varianza; con skew, la parte baja de la sonrisa pesa más (y los pesos $1/K^2$ la favorecen todavía más). La volatilidad de cada vencimiento, 25,5 %, 26,0 % y 26,3 %, es la de un swap de varianza a ese plazo, no la ATM: la ATM de 44 días de ese día era del 22,2 % (lección 3.4.5).

def vorx(fecha, grupos):
    """Índice a 30 días con los dos primeros vencimientos de 8 días
    o más (libro blanco de Cboe, versión mensual)."""
    vencs = sorted(v for v in grupos if (v - fecha).days >= 8)[:2]
    n1, n2 = [(v - fecha).days for v in vencs]
    s2 = [var_cboe(grupos[v], n / 365, tipo(fecha, n / 365))
          for v, n in zip(vencs, (n1, n2))]
    w = (n1 / 365 * s2[0] * (n2 - 30) / (n2 - n1)
         + n2 / 365 * s2[1] * (30 - n1) / (n2 - n1))
    return 100 * math.sqrt(max(w * 365 / 30, 0.0))


grupos_hoy = dict(tuple(dia.groupby("vencimiento")))
print(f"VORX calculado: {vorx(hoy, grupos_hoy):.2f}")
print(f"VORX publicado: {vx.loc[hoy, 'vorx']:.2f}")

VORX calculado: 25.89
VORX publicado: 25.89

Con $N_1 = 16$ y $N_2 = 44$, los 30 días quedan a mitad de camino y los dos vencimientos pesan lo mismo en varianza total. El resultado, 25,89, coincide con el publicado.

La figura descompone la varianza del vencimiento de 44 días por strike. Las puts se extienden hasta 2.400 puntos, un 53 % por debajo del índice, con aportes pequeños pero no despreciables; las calls se acaban mucho antes, porque las lejanas tienen bid nulo. La barra de $K_0$ es la más alta porque ahí se suman la put y la call (su media) con el peso de un strike cercano al dinero.

Doce años recalculados

grupos = {}
for (f, v), g in ancha.groupby(["fecha", "vencimiento"]):
    grupos.setdefault(f, {})[v] = g
calc = pd.Series({f: vorx(f, gv) for f, gv in grupos.items()})
dif = (calc.round(2) - vx["vorx"].reindex(calc.index)).abs()
print(f"{len(calc)} días; diferencia máxima: {dif.max():.3f}")
sin = vx.index.difference(calc.index)
print("Días del índice sin cadena:", [d.date() for d in sin])

3017 días; diferencia máxima: 0.000
Días del índice sin cadena: [datetime.date(2019, 7, 23)]

Los 3.017 días con cadena dan el VORX publicado al céntimo: es la respuesta conocida del conjunto de datos, y la prueba de que el código aplica bien cada regla. El único día del índice que falta, el 2019-07-23, es la incidencia dia_sin_cadena de la lección 3.6.4: ese día el proveedor no entregó la cadena y el índice no se puede recalcular.

ver = pd.read_parquet("opciones3_verdad.parquet")


def atm30(g):
    """Vol ATM verdadera a 30 días: θ interpolado, θ(0) = 0."""
    th = np.interp(30 / 365, np.r_[0, g["dias"] / 365],
                   np.r_[0, g["theta"]])
    return 100 * math.sqrt(th * 365 / 30)


vx["atm30"] = ver.groupby("fecha").apply(atm30)
d_mod = vx["vorx"] - vx["vorx_modelo"]
d_atm = vx["vorx"] - vx["atm30"]
print(f"VORX − swap del modelo: media {d_mod.mean():.2f}, "
      f"mín. {d_mod.min():.2f}, máx. {d_mod.max():.2f}")
print(f"VORX − ATM a 30 días: media {d_atm.mean():.2f}, "
      f"mediana {d_atm.median():.2f}")
vx[["vorx", "vorx_modelo", "atm30"]].describe().round(2) \
    .loc[["mean", "50%", "min", "max"]]

VORX − swap del modelo: media 0.17, mín. -2.36, máx. 1.39
VORX − ATM a 30 días: media 2.86, mediana 2.58
       vorx  vorx_modelo  atm30
mean  19.80        19.63  16.94
50%   17.66        17.37  15.13
min    9.55         9.72   8.50
max   73.98        74.16  63.02

El VORX queda de media 0,17 puntos por encima del swap de varianza de la superficie verdadera (vorx_modelo), con desviaciones de −2,36 a 1,39: es el error de discretizar la integral en strikes, truncar las alas e interpolar entre dos vencimientos. Frente a la volatilidad ATM a 30 días, en cambio, está 2,86 puntos por encima de media (mediana 2,58): la diferencia no es un error, es el skew. Un índice tipo VIX no mide la volatilidad ATM, sino la raíz de una media de las varianzas de toda la sonrisa, y con skew esa media supera a la del dinero.

Volatilidad realizada y prima de riesgo

La comparación justa es la implícita de hoy frente a la realizada después: el VORX del día $t$ mira los 30 días naturales siguientes, unas 21 sesiones. Usar la realizada de las 21 sesiones anteriores sería comparar el precio de hoy con un dato que ya se conocía.

r = np.log(ind["cierre"]).diff()
real_post = 100 * np.sqrt(252 * (r ** 2).rolling(21).mean()) \
    .shift(-21)                       # sesiones t+1 … t+21
real_prev = 100 * np.sqrt(252 * (r ** 2).rolling(21).mean())
prima = (vx["vorx"] - real_post).dropna()
print(f"Prima VORX − realizada: media {prima.mean():.2f}, "
      f"mediana {prima.median():.2f}")
print(f"Días con la realizada por encima: {(prima < 0).mean():.1%}")
print(f"Peor día: {prima.idxmin().date()}, {prima.min():.1f} puntos")
p_atm = (vx["atm30"] - real_post).dropna()
print(f"Con la ATM a 30 días: media {p_atm.mean():.2f}, "
      f"mediana {p_atm.median():.2f}")
var_prima = (vx["vorx"] ** 2 - real_post ** 2).dropna() / 100
print(f"En varianza (puntos² / 100): media {var_prima.mean():.2f}")

Prima VORX − realizada: media 5.30, mediana 6.38
Días con la realizada por encima: 11.1%
Peor día: 2020-03-06, -76.5 puntos
Con la ATM a 30 días: media 2.43, mediana 3.88
En varianza (puntos² / 100): media 1.53

La prima media es de 5,30 puntos de volatilidad y la mediana, de 6,38. La realizada supera al VORX el 11,1 % de los días, y el peor caso es el 6 de marzo de 2020: el VORX marcaba 23,2 y la realizada de las 21 sesiones siguientes, que incluyen las caídas de doble dígito del 12 y el 16 de marzo, fue del 99,7 %, una diferencia de −76,5 puntos. Con la volatilidad ATM a 30 días, la prima es menor (2,43 de media) porque parte de lo que el VORX cobra es el skew. En varianza, que es lo que se negocia en un swap, la diferencia media es de 153 puntos de volatilidad al cuadrado (0,0153 de varianza anual).

En los datos la prima está plantada: la varianza implícita es entre 1,0 y 1,3 veces la esperada (más en calma que en estrés), según el README de los datos. La referencia académica sobre la prima de varianza en los mercados reales es Carr y Wu (2009), en los recursos; aquí no se da ninguna cifra real.

anual = prima.groupby(prima.index.year).agg(
    media="mean", mediana="median", minimo="min",
    negativa=lambda z: (z < 0).mean())
anual.round(2).T

fecha     2014   2015   2016  2017   2018  2019   2020  2021  2022  2023  2024   2025
media     3.91   4.38   4.19  4.26   6.04  6.90   5.08  7.18  5.67  6.35  5.41   4.18
mediana   4.23   5.68   5.50  5.02   8.13  7.07  11.92  8.62  6.37  7.15  5.63   6.33
minimo   -4.19 -15.67 -16.19 -8.09 -16.95 -1.40 -76.46 -7.03 -9.44 -1.15 -2.88 -24.94
negativa  0.11   0.22   0.15  0.17   0.16  0.02   0.10  0.09  0.08  0.04  0.06   0.14

La mediana es positiva todos los años, de 4,2 en 2014 a 11,9 en 2020; la fracción de días negativos va del 2 % (2019) al 22 % (2015). Los mínimos cuentan otra historia: −76,5 en 2020, −24,9 en 2025, −17,0 en 2018 y −16,2 en 2016, los años con tramos de estrés en el guion de los datos. La prima es estable en el centro y muy inestable en la cola.

La figura muestra toda la distribución, con el número de días en escala logarítmica para que se vea la cola: la masa entre 0 y 15 puntos y, a la izquierda de cero (destacado), una cola larga con un grupo aislado entre −76 y −62 que son las 16 sesiones del 13 de febrero al 6 de marzo de 2020.

import statsmodels.api as sm

d = pd.concat({"real_post": real_post, "vorx": vx["vorx"],
               "real_prev": real_prev}, axis=1).dropna()
d = d.iloc[::21]          # sin solapamiento: una cada 21 sesiones
for x_cols in (["vorx"], ["real_prev"], ["vorx", "real_prev"]):
    m = sm.OLS(d["real_post"], sm.add_constant(d[x_cols])).fit()
    coef = ", ".join(f"{c} {m.params[c]:.2f} (t {m.tvalues[c]:.1f})"
                     for c in x_cols)
    print(f"{coef} · R² {m.rsquared:.2f} · n {int(m.nobs)}")

vorx 0.70 (t 7.9) · R² 0.31 · n 142
real_prev 0.41 (t 5.3) · R² 0.17 · n 142
vorx 0.91 (t 5.5), real_prev -0.19 (t -1.5) · R² 0.32 · n 142

Con una observación cada 21 sesiones (142, sin solapamiento), el VORX explica el 31 % de la varianza de la realizada posterior, frente al 17 % de la realizada pasada; juntas, el 32 %, y la pasada pierde su significación (t = −1,5). El VORX contiene la información de la volatilidad pasada y algo más. Su pendiente de 0,70 (sola) dice que es un predictor sesgado al alza: lleva la prima dentro.

El VSTOXX y el índice europeo de los datos

El VSTOXX es el índice de volatilidad del EURO STOXX 50, desarrollado por Goldman Sachs y Deutsche Börse y calculado por STOXX con las opciones OESX de Eurex. Su varianza por vencimiento usa la misma fórmula que el VIX, pero la guía de STOXX22Nota 2 · STOXX, Strategy Index Guide, edición de septiembre de 2024, sección 9 (EURO STOXX 50 Volatility). Enlace en los recursos. cambia bastantes detalles:

La consecuencia práctica es que los dos índices no son intercambiables aunque se muevan juntos: con horquillas anchas (estrés), el VSTOXX puede usar precios de liquidación o de la última operación donde el VIX usa medios, y el filtro de 0,5 puntos recorta sus alas antes. En los datos del curso, el índice europeo ficticio VGX tiene su índice de volatilidad VVGX, calculado como la raíz del swap de varianza a 30 días de su propio modelo (no hay cadena de VGX publicada, así que no se puede recalcular):

rg = np.log(vx["vgx"]).diff()
real_post_g = 100 * np.sqrt(252 * (rg ** 2).rolling(21).mean()) \
    .shift(-21)
prima_g = (vx["vvgx"] - real_post_g).dropna()
print(f"VVGX: media {vx['vvgx'].mean():.1f}, "
      f"VORX: media {vx['vorx'].mean():.1f}")
print(f"Prima VVGX: media {prima_g.mean():.2f}, mediana "
      f"{prima_g.median():.2f}, negativa {(prima_g < 0).mean():.1%}")
print(f"Correlación de rendimientos ORX-VGX: {r.corr(rg):.2f}")
print("Correlación de cambios diarios VORX-VVGX: "
      f"{vx['vorx'].diff().corr(vx['vvgx'].diff()):.2f}")
print("Correlación de ORX con los cambios del VORX: "
      f"{r.corr(vx['vorx'].diff()):.2f}")

VVGX: media 21.3, VORX: media 19.8
Prima VVGX: media 5.41, mediana 6.16, negativa 11.0%
Correlación de rendimientos ORX-VGX: 0.82
Correlación de cambios diarios VORX-VVGX: 0.96
Correlación de ORX con los cambios del VORX: -0.61

El VVGX tiene una media de 21,3 frente a 19,8 del VORX, una prima parecida (5,41 de media, 6,16 de mediana, negativa el 11,0 % de los días) y unos cambios diarios casi idénticos a los del VORX (correlación 0,96), porque en el modelo de los datos su varianza es 1,2 veces la de ORX con un ruido propio pequeño. En los mercados reales la relación entre el VIX y el VSTOXX es estrecha, pero no tanto: cada uno tiene su propio mercado de opciones, sus horarios y sus reglas. La correlación negativa de −0,61 entre el rendimiento de ORX y el cambio del VORX es el efecto apalancamiento: la volatilidad implícita sube cuando el índice cae.

Ejercicios

1. Calcula el VORX del miércoles 18 de junio de 2025, cuando el primer vencimiento está a dos días. ¿Qué vencimientos entran y por qué? Comprueba el resultado con el publicado.

f = pd.Timestamp("2025-06-18")
print({(v - f).days: len(g) for v, g in grupos[f].items()})
print(f"Calculado {vorx(f, grupos[f]):.2f}, "
      f"publicado {vx.loc[f, 'vorx']:.2f}")

{2: 48, 30: 45, 58: 40}
Calculado 25.11, publicado 25.11

2. Repite la prima con la realizada de las 21 sesiones anteriores en vez de las siguientes. ¿Cuánto cambia la media y la fracción de días negativos? ¿Por qué esa versión no sirve para evaluar una estrategia?

prima_prev = (vx["vorx"] - real_prev).dropna()
print(f"Media {prima_prev.mean():.2f} (posterior {prima.mean():.2f})")
print(f"Negativa {(prima_prev < 0).mean():.1%} "
      f"(posterior {(prima < 0).mean():.1%})")
print(f"Mínimo {prima_prev.min():.1f} el {prima_prev.idxmin().date()}")

Media 5.33 (posterior 5.30)
Negativa 12.3% (posterior 11.1%)
Mínimo -36.6 el 2020-04-06

3. En la cadena del 4 de junio de 2025, el VORX usa 32 de los 48 strikes del vencimiento de 16 días. ¿Qué pasaría con su varianza si se usaran todos, con el medio de las opciones de bid nulo? Razónalo con la fórmula y compruébalo.

g = grupos_hoy[pd.Timestamp("2025-06-20")]
T = 16 / 365
R = tipo(hoy, T)
K = g["strike"].to_numpy()
c = ((g["bid_C"] + g["ask_C"]) / 2).to_numpy()
p = ((g["bid_P"] + g["ask_P"]) / 2).to_numpy()
j = np.argmin(np.abs(c - p))
F = K[j] + math.exp(R * T) * (c[j] - p[j])
i0 = np.flatnonzero(K <= F)[-1]
Q = np.r_[p[:i0], (c[i0] + p[i0]) / 2, c[i0 + 1:]]
todos = (2 / T * np.gradient(K) / K ** 2 * Q
         * math.exp(R * T)).sum() - (F / K[i0] - 1) ** 2 / T
regla = var_cboe(g, T, R)
print(f"Regla de Cboe: σ² = {regla:.6f} "
      f"(vol {100 * math.sqrt(regla):.2f})")
print(f"Todos los strikes: σ² = {todos:.6f} "
      f"(vol {100 * math.sqrt(todos):.2f})")

Regla de Cboe: σ² = 0.065072 (vol 25.51)
Todos los strikes: σ² = 0.065269 (vol 25.55)